GS Nguyễn Xuân Vinh
Trong câu chuyện này, tôi sẽ nói về những vẻ đẹp tuyệt vời của hình tròn. Từ khi loài người biết suy nghĩ, ban đêm nhìn thấy sao hiện ra rồi lấp ló có ánh trăng. Chờ đợi từng ngày, cho đến ngày rằm, lúc trăng tròn, hiện ra suốt đêm từ hoàng hôn cho đến rạng đông, hình thể mặt trăng lúc đó được coi là tuyệt mỹ. Ðứng bên một mặt hồ phẳng lặng, ta có thể bỗng nhiên nghe tiếng cá đớp và nhìn ra sẽ thấy những ngấn nước loang dần dần theo những vòng tròn đồng tâm. Hay có thể một buổi sáng, sau cơn mưa nhìn về phía Tây, con người nhìn thấy một cầu vồng mầu sắc vẽ một vành cung lớn trên nền trời. Ðó là những hình tròn thiên nhiên con người nhìn thấy từ thời thạch động. Khi con người nghĩ ra được bánh xe tròn là lúc đó phương tiện chuyển vận đã được một bước nhẩy vọt không khác gì khi chế ra được chiếc thuyền để đi trên mặt nước hay khi dùng được máy hơi nước để chuyển vận những toa tầu trên đường sắt. Thi nhân đã không tiếc lời ca tụng mặt trăng, cho đến nỗi khi tả sắc đẹp của mỹ nhân cũng nghĩ rằng mặt người nếu tròn như mặt trăng đêm rằm là mặt đẹp như đoạn Nguyễn Du tả Thúy Vân:
“Vân xem trang trọng khác vời
Khuôn trăng đầy đặn, nét ngài nở nang”
Nhưng bạn đọc có thể hỏi tại sao lại chọn hình tròn và cho hình này là hình đặc sắc nhất. Trước đây ta đã có dịp gặp những hình Cycloid, đã được gọi là nàng tiên đẹp Helen của thành Troy, ta đã thấy hình Catenary tức là hình nếp áo treo của tiên nữ, ngoài ra còn biết bao nhiêu hình khác các nhà toán học đã tìm ra trải qua ba nghìn năm nghiên cứu. Vì vậy để hiểu được vị trí của hình tròn trong toán học, chúng ta trước hết hãy duyệt qua một số hình đặc sắc khác trước khi đi đến kết luận hình nào là hình đẹp tuyệt vời.
Chúng ta chắc nhiều người đã đọc những chuyện võ hiệp và đã được biết có một thời trong võ lâm có năm bậc tài năng tới mức thượng thừa. Năm vị lãnh tụ võ lâm ấy là Hoàng Dược Sư, Âu Dương Phong, Ðoàn Nam Ðế, Hồng Thất Công và Vương Trùng Dương mỗi vị trấn một phương, uy thế ngất trời. Một lần họ họp với nhau suốt bẩy ngày và bẩy đêm trên đỉnh núi Hoa Sơn để bàn luận võ công, tuy không thực sự quần thảo nhưng dùng lý thuyết và biểu diễn tranh tài cao thấp. Chung cuộc họ đi đến kết luận là người nào cũng đã đến tuyệt đỉnh môn phái võ của mình. Âu Dương Phong có môn Hàm Mô Công thật là ác độc, Hoàng Dược Sư là một nhà thông thái võ công huyền ảo, kỳ bí, có phần chính, có phần tà, vị Ðế Vương miền Vân Nam họ Ðoàn được thừa hưởng môn võ Nhất Dương Chỉ truyền đời, chỉ dùng ngón tay mà tạo ra những đường kiếm linh hoạt, ảo diệu. Ngoài ra Hồng Thất Công là vị bang chủ Cái bang, tính tình hào hiệp, trọng nghĩa khinh tài, môn Giáng Long có mười tám thế đánh bằng tay sức mạnh ví như có thể di sơn, đảo hải, lại thêm môn võ đánh gậy trúc gọi nôm na là Ðả Cẩu Bổng Pháp tuy nhẹ nhàng nhưng lại huyền diệu lợi hại khôn lường. Tuy không tôn một ai làm minh chủ của võ lâm nhưng các vị lãnh tụ đều phải nhận là giáo chủ Vương Trùng Dương, xưa nay vẫn ẩn cư ở núi Chung Nam, võ nghệ, kiến thức tuyệt luân, tính tình lại từ hòa nhân ái đáng giữ ngôi vị ở trung ương. Từ đó truyền bá ra Võ Lâm theo phương vị là Ðông Tà, Tây Ðộc, Nam Ðế, Bắc Cái, Trung Thần Thông, ý nói là Hoàng Dược Sư giữ ngôi vị chúa đảo ngoài Ðông Hải, trong khi đó Âu Dương Phong hùng cứ miền Tây Nguyên, Ðoàn Vương Gia là thủ lãnh suốt miền Nam và Hồng bang chủ trấn ngự toàn phía Bắc. Ở trung ương thì ngôi vị phải nhường cho con người võ nghệ siêu phàm là Vương Trùng Dương chân nhân.
Tôi nghĩ rằng trong hình học, lựa chọn ra một hình có tính chất tuyệt luân huyền diệu cũng khó như cuộc luận kiếm trên đỉnh Hoa Sơn. Vì vậy tôi tưởng tượng ra đây một trại Hè tôi và một số bạn trẻ đã qua mấy ngày đêm thảo luận về những nét hay đẹp của một số hình trong toán học và giờ đây duyệt lại xem hình nào đáng giữ ngôi vị trung ương. Ðể buổi hội thảo có trật tự, ta tạm chia nhiệm vụ là đã có bốn nhóm trại sinh, mỗi nhóm đã nghiên cứu và chọn ra được một hình như là cao thủ võ lâm để dự cuộc tuyển chọn và hiện nay 4 nhóm này đã ngồi chung quanh theo bốn phương vị Ðông, Tây, Nam và Bắc. Số người còn lại, hoặc chưa có ý kiến, hoặc chưa đưa ra hình dự cuộc vì còn muốn giữ bí mật nay ngồi ở phần giữa của hội trường.
Những Tiên Ðề của Euclid và Hình
Tam Giác của Phương Ðông
Ngồi ở Ðông vị là một nhóm trông có vẻ hăng hái hơn cả vì muốn được xuất quân trước nhất. Một bạn đại diện đứng lên và đưa đề nghị thật giản dị:
“Hình đẹp nhất phải là hình tam giác được tạo ra bởi ba điểm A, B và C không thẳng hàng nối với nhau bằng những đoạn thẳng và trong tất cả các hình tam giác vẽ được trong thế gian, hình tuyệt mỹ là hình tam giác có ba cạnh đều nhau.”
Sau đó có nhiều bạn trong nhóm Ðông mỗi người đứng lên nói một câu biện minh cho sự chọn lựa của nhóm này. Tôi ghi lại đây những ý chính:
Nếu chỉ có hai điểm thì không vẽ ra được một hình. Phải có ít nhất là ba điểm. Vậy tam giác là hình giản dị nhất, thiên nhiên nhất và dĩ nhiên là đẹp nhất.
Làm một cái bàn chỉ có hai chân thì không thành cái bàn. Phải cần có ba chân, thành ra ba điểm đặt, và ba điểm là vững vàng nhất. Dùng bốn điểm có thể thành khập khễnh.
Tam giác ba cạnh đều là tam giác cân xứng nhất vì có ba cạnh bằng nhau và ba góc đỉnh cũng bằng nhau. Ngoài ra, trên một mặt phẳng, muốn ghép những hình đều cạnh mà không để chừa ra khoảng trống, như lát sàn bằng gạch hoa, thì chỉ có thể dùng hình tam giác đều, hình vuông và hình lục lăng đều như Hình 1. Trong ba kiểu hình này thì tam giác đều có ít cạnh nhất, như vậy giản tiện mà lại thỏa mãn điều kiện lát gạch.
Hình 1
Ðến đây với tính cách là người điều khiển buổi hội thảo đầy hứng thú này, tôi muốn có ít lời nhận xét vì lời đề nghị của nhóm Ðông có liên quan đến những tiên đề của hình học.
Trước hết tiên đề là gì? Ở thế kỷ này và trong tương lai, ở những thế kỷ tiếp nối, hay cả ở những hành tinh khác trong vũ trụ, nếu có những người thông minh xây dựng được môn toán học riêng của họ, thì môn nào cũng phải dựa vào luận lý. Lấy thí dụ trong hình học là môn toán học ta tìm ra được những tính chất gọi là a, b và c mà những tính chất này được suy đoán một cách minh bạch, không ai chỉ trích nổi, từ những tính chất mà ta gọi là d, e và f thì những tính chất sau này được coi là những tính chất khởi thủy để dùng luận lý mà xây dựng ra môn hình học. Nay ta lại xét đến những tính chất d, e và f khi những tính chất này không phải dùng những lý luận loanh quanh mà suy ra lẫn nhau mà lại được suy ra một cách rất rõ ràng từ những tính chất khác mà ta gọi là g và h, thì những tính chất sau này mới gọi là tính chất khởi thủy vì tự nhóm này mà ta đã dùng luận lý để suy ra những tính chất d, e và f, và tiếp theo đó suy ra những tính chất a, b và c. Mỗi lần suy luận một cách minh bạch, dựa vào những gì đã được công nhận để tìm ra những tính chất tiếp theo ta nói là đã chứng minh được một định lý. Nếu ta đi ngược lại về nguồn thì sẽ tới được những tính chất nguyên thủy không có thể dựa lên những tính chất nào khác nữa để chứng minh những tính chất nguyên thủy này mà ta gọi là tiên đề.
Vậy tiên đề là những khái niệm gì ta phải công nhận, không cách gì chứng minh được, và căn cứ vào đó ta xây dựng nên cả môn toán học.
Người đầu tiên đã đặt thành hệ thống môn hình học dựa vào những tiên đề là nhà giáo Euclid, viết sách và mở trường dậy vào khoảng những năm 330-275 trước Công nguyên ở Alexandria bên Ai Cập, tuy ông lại là người Hy Lạp. Ông đúng là nhà soạn sách thành công nhất tự cổ xưa tới nay vì hơn hai ngàn năm qua, môn hình học đã được khai triển dựa vào những tiên đề và những căn bản viết trong bộ sách 13 cuốn của ông được đặt tên là “Các Cơ Sở”
Ðúng ra thì Euclid viết 10 tiên đề, áp dụng chung cho toán học, nhưng riêng cho môn hình học, sau nhiều thế kỷ tranh luận, sửa đổi, người ta lấy 5 tiên đề, mà 4 tiên đề đầu được lập theo từ chương mới trong những sách giáo khoa hình học như sau:
1.Qua hai điểm có thể xác định được một đường thẳng và chỉ một mà thôi.
2.Qua ba điểm không thẳng hàng có thể xác định được một mặt phẳng và chỉ một mà thôi.
3.Nếu đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đó hoàn toàn nằm trong mặt phẳng này.
4.Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có thêm một điểm chung thứ hai nữa.
5.Tiên đề thứ năm là tiên đề được tranh luận nhiều nhất, tôi sẽ nói ở phần cuối của mục này. Tới đây ta cần nhận định rằng, theo định nghĩa thì tiên đề là những mệnh đề toán học phải công nhận vì không còn mệnh đề nào khác để chứng minh được. Vì vậy ta phí mất công sức để chẳng hạn dùng tiên đề 1, 2 và 3 để chứng minh tiên đề 4 vì nếu chứng minh được thì mệnh đề 4 không còn được gọi là tiên đề nữa. Phần khác ta sẽ thấy là không thể nào thêm được một tiên đề nào khác nữa Chẳng hạn, ta tự nghĩ rằng mình là một thiên tài toán học mà đặt thêm tiên đề thứ sáu.
6.Hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng.
Ðọc lên nghe có vẻ ngon lành như khi vào một tiệm ăn cầm thực đơn mở đôi ra thì sẽ như hiển hiện ra tiên đề thư sáu. Vả chăng, nếu ta đọc lại những tiên đề 1, 2 và 3 thì thấy cũng như là thể hiện những gì hữu hình thường nhật, chẳng hạn một sợi chỉ căng giữa hai điểm (tiên đề 1), một tấm bìa cứng đặt trên ba mũi nhọn (tiên đề 2) và đặt cái thước trên một mặt bàn (tiên đề 3). Vậy tại sao mệnh đề 6 không được gọi là tiên đề nhỉ ?
Ta phải lý luận như sau. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì chúng phải có một điểm chung và theo tiên đề 4 chúng sẽ có thêm một điểm chung thứ hai nữa. Theo tiên đề 1, ta thấy chỉ có một đường thẳng qua hai điểm này và, theo tiên đề 3 đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng. Vậy là ta đã dùng tiên đề 1, 3 và 4 để chứng minh mệnh đề 6, và mệnh đề này là một định lý chứ không được gọi là một tiên đề.
Một nhận xét khác nữa là ta đã hình dung ra những điểm, đường thẳng hay mặt phẳng theo định nghĩa hình thể được lý tưởng hóa. Chính vị tổ sư Euclid cũng nhầm lẫn về vấn đề này. Ông tưởng tượng điểm là cái gì không thể thu nhỏ được nữa cũng như một đường là chỉ có chiều dài chứ không có chiều rộng, một mặt thì chỉ có chiều dài, chiều rộng chứ không có bề dầy. Hay đôi khi dùng những cuốn sách nhập môn về Hình Học, để khỏi lúng túng, khi đọc tiên đề 1, học sinh hỏi vặn lại là đường thẳng là gì, hay khi đọc tiên đề 2 có người thắc mắc muốn được biết định nghĩa về mặt phẳng, một nhà giáo khi chỉ có trình độ trung cấp về toán học có thể trả lời là nhìn một sợi chỉ căng là có ý niệm về đường thẳng, hay nhìn một mặt hồ không gợn sóng là có thể hình dung ra được một mặt phẳng. Sự thực ra thì ta có thể công nhận các tiên đề như đã nêu ở trên và không cần phải có định nghĩa về điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Thật vậy, nếu bạn đọc có cách nào để quên được những ý niệm hình thể về đường thẳng và mặt phẳng hay tạm cho là đường thẳng có hình hơi cong cong, và mặt phẳng hơi vềnh vồng thì những tiên đề kể trên vẫn đúng như thường vì ta đã mặc nhiên công nhận những tiên đề này. Nếu vì lấy đường thẳng cong cong mà không thích hợp với tiên đề 1 chẳng hạn thì tức là ta đã dùng ý niệm “đường thẳng là cái gì rất thẳng” để chứng minh tiên đề 1 là đúng. Như thế mệnh đề 1 đâu đáng được gọi là tiên đề. Phần khác bạn đọc có thể coi lại đoạn chứng minh mệnh đề 6 khi dùng những tiên đề 1, 3 và 4 sẽ thấy là trong lý luận này chúng ta có dùng ý niệm “đường thẳng là cái gì rất thẳng” và “mặt phẳng là cái gì rất phẳng” để làm hậu thuẫn đâu!
Nay trở lại phát biểu của nhóm Ðông thì ta thấy hình tam giác nằm trong một mặt phẳng và ba cạnh của hình hoàn toàn nằm trong mặt phẳng này. Nhóm Ðông được dành nửa giờ để trình bầy những tính chất đặc biệt của hình tam giác. Dĩ nhiên là có nói nửa ngày trời cũng không hết. Vì vậy các bạn đã nhấn mạnh tính chất hội tụ như sau, dựa theo Hình 2.
Hình 2
-Ba đường trung tuyến vẽ từ 3 đỉnh A, B và C như là đường AM, vẽ từ đỉnh A đến trung điểm M của cạnh đối diện BC, ba đường này gặp nhau ở điểm G là trọng tâm của tam giác và ở 2/3 các trung tuyến kể từ đỉnh.
-Ba đường trung trực tức là những đường thẳng góc với các cạnh như BC vẽ từ trung điểm M, ba đường này cũng gặp nhau ở điểm O là một điểm cách đều ba đỉnh A, B và C. Như vậy, O là tâm điểm cuả vòng tròn ngoại tiếp với tam giác ABC.
-Ba đường cao là là những đường như AH vẽ từ đỉnh A thẳng góc với cạnh đối diện BC, ba đường này cũng gặp nhau ở một điểm I gọi là trực tâm của tam giác.
-Ðặc biệt ba điểm O, G và I lại thẳng hàng với nhau và điểm G ở 2/3 đoạn IO kể từ điểm I. Ðường thẳng này gọi là đường thẳng của Euler.
Nhóm Ðông có vẻ thích thú về những tính chất hội tụ của những đường đặc biệt vẽ trên hình tam giác và các bạn trẻ cho rằng những tính chất này không có ở các hình khác. Một thành viên của nhóm Ðông còn thêm tính chất rằng:
-Nếu vẽ những đường phân giác nghĩa là những đường chia những góc A, B và C, mỗi góc làm hai phần đều nhau thì ba đường này cũng gặp nhau tại một điểm J và điểm này lại đặc biệt ở một vị trí cách đều ba cạnh BC, CA và AB. Như vậy J là tâm điểm của vòng tròn nội tiếp với tam giác ABC.
Sau phần trình bầy của nhóm Ðông tới phần đặt câu hỏi. Câu khó trả lời nhất là:
“Tại sao lại chọn hình tam giác có ba cạnh đều? Ngoài tính chất cốt dùng để lót gạch hoa không có khoảng trống như trên Hình 1, hình tam giác có ba cạnh đều còn có gì đặc biệt? Vả chăng muốn lát kín thì cần gì phải chọn hình có cạnh đều. Chẳng hạn trên Hình 1, thay vì chọn hình vuông, dùng hình chữ nhật có sao đâu ? Những viên gạch xây tường có hình chữ nhật cũng vẫn xếp kín được như thường. Vậy ta cũng vẫn có thể thay hình tam giác ba cạnh đều bằng những hình tam giác cân, chỉ có hai cạnh bằng nhau vẫn xếp kín được như thường chứ ?”
Nghe câu hỏi hóc búa này, thay vì lúng túng, tất cả các bạn trong nhóm Ðông lại vỗ tay reo mừng. Lúc đó họ mới đưa ra môn võ bí hiểm bằng cách trưng ra những Hình 3 và Hình 4. Theo nhóm này thì Hình 3 biểu diễn một định lý tìm ra bởi Hoàng Ðế Napoléon Bonaparte (1769-1821).
Hình 3
Theo Hình 3, lấy một hình tam giác ABC bất kỳ nào và sau đó, trên những cạnh, kiến trúc ba hình tam giác đều. Trên mỗi tam giác đều, vẽ những điểm gặp nhau của những đường trung trực như điểm O đã cắt nghĩa trên hình 2. Ba tâm điểm này là ba đỉnh của một tam giác ba cạnh đều. Tính chất đặc biệt của định lý này là bất kỳ hình tam giác ABC nào cũng tạo được ra một hình tam giác ba cạnh đều. Ðịnh lý này đã làm cho nhóm ngồi phía Tây là nhóm sắp sửa ra thuyết trình có vẻ nao núng. Tuy vậy, họ cũng có lời phê bình là: “Ðịnh lý của Napoléon phải dùng đến ba hình tam giác đều để kiến trúc ra hình tam giác đều thứ tư. Vậy có gì là bất kỳ đâu ?” Câu hỏi này đi vào bẫy sập của nhóm Ðông vì họ trả lời rằng: “Hãy thử coi Hình 4 sẽ thấy hình tam giác nào cũng đưa đến hình tam giác đều, hay nói văn vẻ hơn, đường nào cũng dẫn đến kinh thành La Mã.
C Hình 4
Thật vậy theo Hình 4, bạn thử vẽ một tam giác bất kỳ nghĩa là không có cạnh nào bằng cạnh nào, và như thế cũng có nghĩa là không có góc nào bằng góc nào. Sau đó ở mỗi góc vẽ hai nửa đường thẳng để chia góc làm ba phần đều nhau. Những đường thẳng này cắt nhau tại những điểm là đỉnh của những hình tam giác có ba cạnh đều. Hình vẽ nét đậm trên Hình 4 là một trong những hình tam giác đều được tạo ra.
Sau phần trình bày rất ngoạn mục này, nhóm Ðông đã nhận được một tràng pháo tay cổ võ rất nồng nhiệt. Trước khi giới thiệu phần trình bày của nhóm Tây, chắc cũng không kém phần hào hứng, tôi có chút nhận xét sau đây:
Trở lại lời phát biểu là dùng một cái bàn ba chân là vững vàng nhất, ta thấy là nhóm Ðông đã đi vào phạm vi Cơ học, hay đúng hơn là phần Tĩnh học của Toán áp dụng này. Một cái bàn hay một cái ghế đẩu có ba chân chỉ có thể đứng vững ở vị thế tĩnh khi trọng lực của cố thể này đi qua tam giác hợp thành bởi những điểm đặt. Bạn đọc thử hình dung một mặt bàn đá, nghĩa là khá nặng, có ba chân song song và khá dài. Sau đó, cắt ngắn một chân bàn chút ít sẽ nhận thấy ngay rằng tuy vẫn có ba điểm đặt vững chãi nhưng đường trọng lực, phát xuất tự trọng tâm ở khá cao sẽ đi ra ngoài tam giác đế của chân bàn và chiếc bàn chắc chắn sẽ bị lật nghiêng.
Tiên đề thứ năm của Euclid là:
5.Từ một điểm A ở ngoài đường thẳng b bao giờ ta cũng kéo được một và chỉ một đường thẳng a song song với b.
Như đã nói ở trên, trong tập “Các Cơ Sở”, Euclid mở đầu bằng cách phát biểu 10 tiên đề mà trong môn Hình Học dùng 5 tiên đề viết lại theo lối mới như trên. Trải qua hơn hai ngàn năm, nhiều nhà toán học, có những vị là những thiên tài, cho rằng tiên đề 5 chỉ là một định lý hình học có thể suy ra được bằng cách dựa trên các tiên đề khác.
Sau nhiều lần thất bại, phải tới thế kỷ thứ 19, ba nhà toán học lỗi lạc là Carl Friedrich Gauss (1777-1855) người Ðức, Nicolai Ivanovitsch Lobatschewsky (1793-1856) người Nga và Johann Bolyai (1802-1860) người Hung, mới sáng suốt nhận chân rằng tiên đề thứ năm này quả thật là một tiên đề, không chứng minh được vì không suy ra được từ những tiên đề khác. Vị thủy tổ Euclid giữ toàn vẹn chiếc ngai Hình Học, được gọi là Hình Học Euclid. Nhưng mặt khác, các nhà toán học nói trên nghĩ rằng nếu thay thế tiên đề 5 bằng một tiên đề thật trái ngược mà dùng suy luận để đi đến một nghịch lý thì tức là đã chứng minh được tiên đề này, đó là điều đã không ai làm được. Vậy thì có thể dùng một tiên đề khác thay thế cho tiên đề 5 để xây dựng nên một môn hình học mới tức là Hình Học Phi Euclid. Lobatschewsky và Bolyai dựng nên môn hình học mới bằng cách thay tiên đề 5 bằng tiên đề
LB. Từ một điểm A, ở ngoài đường thẳng b, có thể kéo nhiều đường song song với b.
Dùng tiên đề này có thể làm thành một môn hình học trong đó không có gì nghịch lý cả và môn này được gọi là Hình Học Hy-pe-bol. Một môn hình học thứ ba nữa có thể được dựng ra bằng cách dùng một tiên đề trái ngược với tiên đề 5, do nhà toán học Bernhard Riemann (1826-1866) phát biểu là:
R. Từ một điểm A ngoài đường thẳng b không thể kéo đường thẳng nào song song với b.
Môn hình học phi Euclid này được gọi là Hình Học Ellip.
Một nhận xét sau cùng nữa là nhóm Ðông không thể nào chỉ dùng thước kẻ thẳng và com-pa để vẽ nên Hình 4 được. Ðó là vì trong Hình Học có ba bài toán đố không thể nào dùng thước kẻ thẳng và com-pa để tìm lời giải được là các bài sau đây:
1.Chia một góc phẳng bất kỳ làm ba góc bằng nhau.
2.Kiến tạo một hình lập phương có thể tích gấp hai lần thể tích một hình lập phương cho sẵn.
3.Vẽ một hình vuông có diện tích bằng một hình tròn cho sẵn.
Tôi sẽ nói về những bài tính nan giải này trong một bài viết khác.
Hình Lục Lăng của Phương Tây và Những Cây Cầu
của Thành Phố Konigsberg
Ðề nghị của nhóm trại sinh ở phương Tây dựa vào luật thiên nhiên của tạo hóa. Hình tuyệt mỹ nhất phải là hình được tạo hóa dựa vào để sinh ra các loài thảo mộc và động vật. Một bạn trịnh trọng bưng một quả dứa mới xin được ở một trang trại trong vùng đặt lên trên bàn và sau đó một chị đứng lên cầm một thước nhỏ để chỉ cho mọi người trông thấy là trên quả dứa những mắt dứa được xếp khá đều đặn theo những hình lục lăng đều.
Hình 5
Sự lựa chọn này cũng phù hợp với giải thích của nhóm Ðông dựa lên Hình 1 khi cho mọi người biết rằng khi ráp những hình đều cạnh với nhau mà không để kẽ hở thì chỉ có thể lựa trong ba hình là tam giác đều, hình vuông và hình lục lăng đều. Loài ong là một loại côn trùng biết hợp quần chung sức thành xã hội, khi kiến tạo biết dè sẻn công sức và vật liệu, đã chọn hình lục lăng đều để xây tổ ong thay vì chọn hình tam giác đều hay hình vuông. Ðó là vì loài ong là một loài giỏi toán đã tính ra được rằng nếu cùng một chu vi bằng nhau thì diện tích bề mặt của hình lục lăng lớn hơn là diện tích của hình vuông và diện tích hình vuông lại lớn hơn diện tích hình tam giác. Làm một bài tính nhỏ ta sẽ thấy nếu cùng có một chu vi mà gọi S3 là diện tích của tam giác đều tạo ra, S4 là diện tích của hình vuông và S6 là diện tích của hình lục lăng đều thì ta sẽ có:
S6 = 1,5 S3
S6 = (2/3) √ 3. S4 = 1,1547… S4
Như thế tức là nếu có cùng một chu vi thì diện tích hình lục lăng đều lớn gấp rưỡi diện tích hình tam giác đều của nhóm Ðông. Các bạn trong nhóm Tây còn đứng lên ca tụng những vẻ đẹp thiên nhiên của hình lục lăng đều. Nhóm này có những người sính thơ và đã trích dẫn mấy câu trong Ðộng Hoa Vàng của Phạm Thiên Thư:
“Vào non soi nguyệt, tìm rùa
Ðọc trên mai nhỏ, xanh tờ lạc thư
Thả rùa lại đứng ưu tư
Muốn qua hang động sống như nguyệt rùa”.
Ý chính ở đây là trên mai rùa, có những nếp như họa đồ mà lại theo hình lục lăng. Có thể do đó mà tạo hóa muốn gợi ý cho những triết gia rằng nhìn trên mai rùa mà có thể đọc ra những thông điệp kỳ bí, biết được lẽ huyền vi của muôn loài.
Vào một ngày đông tuyết rơi ngoài trời, đôi khi nhìn trên cửa kính ta thấy đọng nhưng tinh thể tuyết theo hình lục lăng. Những tinh thể thạch anh cũng kết tinh lại thành những thỏi hình trụ có tiết diện là hình sáu cạnh.
Ðể chứng tỏ rằng hình lục lăng đều được kiến trúc theo luật thiên nhiên của tạo hóa, một bạn khác biểu diễn cách dùng hai băng giấy để làm thành hình lục lăng đều theo như Hình 6.
Hình 6
Trở lại hình lục lăng đều như là một hình đẹp trong môn hình học, nhóm Tây nhấn mạnh ở điểm là hình này được tạo bởi 6 hình tam giác đều bằng nhau có chung một đỉnh. Vì vậy những gì được gọi là tuyệt mỹ của hình tam giác đều cũng thấy được ở trong hình lục lăng đều.
Kể chuyện đến đây tôi xin dừng lại một chút vì bạn đọc chắc cũng như tôi nhận thấy rằng vì nhóm Tây có nhiều óc thi nhân, văn nghệ nên phần lý luận đôi khi thành ngụy biện, cái đẹp của thiên hạ muốn vơ làm của mình. Nhưng sau đó hình như trong nhóm cũng có ẩn tàng một bạn trẻ có tài năng toán nên họ đưa ra hình 7 và nói rằng thay vì nối những đỉnh đối diện để chia hình lục lăng thành sáu hình tam giác đều, nay ta chỉ dùng hai tam giác đều lớn hơn thì sẽ vẽ ra được một hình ngôi sao có 6 múi. Diện tích của hình ngôi sao này bằng 2/3 diện tích của hình lục lăng. Phía giữa của hình ngôi sao lại thấy hiện ra một hình lục lăng nhỏ và diện tích của hình lục lăng nhỏ này tính ra thì bằng 1/3 diện tích của hình lục lăng lớn. Nếu ta tiếp tục vẽ theo kiểu này thì sẽ được một hình lục lăng đều thứ ba, có diện tích bằng 1/3 diện tích của hình lục lăng thứ nhì nghĩa là bằng 1/9 diện tích hình lục lăng khởi thủy, vẽ đầu tiên. Cứ thế mà dần dần vẽ để có những hình nhỏ dần dần theo như Hình 8.
Hình 7 Hình 8
Ðể chứng tỏ rằng vẻ đẹp của hình lục lăng đã vượt biên cương của môn Hình Học để đi sang những môn toán học khác như Số học và một môn học kỳ bí mới lạ gọi là Topology (được dịch là Hình học Vị tướng), nhóm Tây đã trình bày thêm hai vấn đề toán học sau đây.
Vấn đề thứ nhất được đặt ra là làm thế nào dựa theo Hình học để tìm ra được công thức dùng để tính tổng số của một cấp số nhân.
Trước hết, thế nào là một cấp số nhân? Thí dụ ta có một lượng đầu tiên gọi là a1, tiếp theo đó có một lương thứ hai là a2, nhỏ hơn a1 theo một tỉ số nào đó gọi là r.
Như thế nghĩa là a2 = a1 . r . Sau đó tới lượng thứ ba gọi là a3 , đối với a 2 cũng vẫn nhỏ hơn theo cùng một tỷ số. Vậy a3 = a2 . r = a1 . r 2 . Ta cứ thế mà viết tiếp và muốn tính được tổng số của n phần tử như thế. Viết phương trình ra ta sẽ có, nếu gọi Tn có tổng số nói trên
T n = a1 + a2 + a 3 +……an
T n = a1 + a1 .r + a 1 .r2 +…..+ a1 .rn-1
Tóm lại ta viết tổng số của n số hạng của cấp số, mà ta gọi là cấp số nhân, là:
Tn = a1 (1+ r+ r2 +…… + rn-1) (1)
Vấn đề đặt ra là ta biết phần tử đầu tiên, gọi là a1 và biết tỷ số thu gọn gọi là r, làm thế nào để tính dễ dàng tổng số Tn của n phần tử. Nếu n là một số nhỏ, thì ta có thể tính thẳng ra được. Nhưng nếu n là một số lớn, dùng theo phép tính trực tiếp để cộng một trăm hay một ngàn hay một số vô tận thì nếu không thể tính được cũng mất lâu công.
Ðể lấy một thí dụ cụ thể, một bạn ở nhóm Tây đưa ra một quả bóng cao su rất nẩy và cho rơi từ một điểm cao 3 mét. Sau khi nẩy lên lần đầu, bóng nẩy lên được một chiều cao bằng 81% chiều cao rơi xuống đầu tiên. Cứ theo thế mà tiếp diễn. Ta lấy giả thuyết là tỷ số 81% được giữ nguyên cho những lần nẩy sau liên tiếp. Theo lý thuyết thì sự nẩy lên sẽ tiếp diễn vô tận. Vậy thì cho đến lúc quả bóng đứng yên, tổng số thời gian là bao nhiêu và khoảng đường đi quả bóng dài bao nhiêu?
Trong số những người dự trại Hè, nhiều anh chị có trình độ đại học, đã biết về cấp số, nhưng nay bất chợt mà bảo làm bài tính trên thì thật là khó khăn. Vả chăng bài tính chắc chắn có lời giải vì tổng số thời gian và khoảng đường đi tất nhiên là những số hữu hạn, chừng mấy chục giây đồng hồ và vài chục mét là cùng, vì nếu thời gian vô tận thì có nghĩa là ta đã có cách gây ra được một chuyển động được duy trì trường kỳ.
Theo nhân tài toán học của nhóm Tây, họ có thể dùng hình lục lăng của Hình 8 để giải quyết bài toán này.
Người bạn trẻ lý luận như sau. Gọi S là diện tích hình lục lăng lớn nhất. Diện tích hình lục lăng thứ nhì bằng 1/3 diện tích của hình lớn. Vậy phần diện tích bao gồm giữa hai hình lục lăng sẽ là (2/3)S. Còn lại (1/3)S cho hình lục lăng thứ hai. Nay nếu ta lại tính phần diện tích vành bao gồm giữa hình thứ hai và hình thứ ba thì ta lấy 2/3 của hình thứ hai. Cứ thế mà tính mãi. Vì diện tích hình thứ ba bằng 1/3 diện tích hình thứ hai nó sẽ bằng 1/9 = (1/3)2 diện tích hình thứ nhất. Tóm lại nếu trên Hình 8 ta cộng ba phần vành trên hình, mỗi phần được bao gồm bởi hai hình lục lăng cạnh nhau kể từ ngoài vào trong, ta sẽ có tổng số:
(2/3)S + (2/3)S(1/3)+(2/3)S(1/3)2 = S - S(1/3)3.
Theo phương trình này, vế bên trái có ba số hạng là diện tích của ba phần vành. Mỗi phần có diện tích bằng 2/3 diện tích của hình lục lăng bắt đầu phần vành, nghĩa là diện tích S của lục lăng ngoài cùng, S(1/3) của lục lăng thứ nhì, S(1/3)2 của lục lăng thứ ba. Mặt khác, như vế bên phải của phương trình cho ta thấy rằng diện tích của ba phần vành được kể như diện tích toàn phần của hình lục lăng lớn, nghĩa là diện tích S, trừ đi diện tích của hình lục lăng nhỏ bên trong tức là hình lục lăng thứ tư và diện tích này bằng S(1/3)3.
Tới đây, theo bạn trẻ thuyết trình, thì thay vì dùng phép vẽ nói trên để suy ra những hình lục lăng kế tiếp nhau, mỗi lần có tỷ số thu gọn là 1/3, ta dùng máy thu hình, hay bằng trí tưởng tượng gọi tỷ số thu gọn là r thì lý luận trên vẫn đúng như thường. Ta có thể viết lại phương trình trên và thay tỉ số (1/3) bằng bất cứ một tỉ số bất kỳ nào gọi là r và đồng thời thay thế hệ số (2/3) bằng hệ số (1-r). Mặt khác, để dễ hiểu, ta đã dùng 3 phần vành để viết phương trình trên. Ta có thể lý luận tiếp để viết tổng số cho một số bất kỳ là n phần vành như sau:
(1-r)S + (1-r)S.r + (1-r)S.r2 +…..+ (1-r)S.rn-1 = S - S.rn.
Theo tính phân bố của một tổng số, ta đặt ra ngoài một thừa số chung
(1-r)S [1 + r + r2 +… + rn-1]= S(1-rn)
So sánh phương trình này với phương trình (1) ở trên thì ta thấy là sẽ có được tổng số Tn bằng cách chia phương trình cho hệ số (1-r)S và sau đó nhân với lượng đầu tiên là a1. Như vậy tức là khi muốn tính tổng số Tn của cấp số nhân như được biểu thức ở phương trình (1) ta dùng công thức:
Tn = a1 (1 – rn)/(1-r) (2)
Một trường hợp đặc biệt là theo Hình 8 nếu ta vẽ tiếp diễn vô tận, diện tích của hình lục lăng sẽ thu gọn thành số không khi n là vô tận. Như thế nghĩa là S.rn sẽ trở thành số không. Tổng số cấp số nhân vô tận sẽ là:
T = a 1/(1-r) (3)
Ðến đây, một lần nữa tôi xin thay lời bạn trẻ ở nhóm Tây để cắt nghĩa lời giải cho bài toán quả bóng cao su nẩy vô tận vì đã ra ngoài phạm vi hình học.
Nếu ta gọi chiều cao là h1 và r là hệ số nẩy thì nẩy lần đầu sẽ lên cao được h2 = h1. r, nẩy lần thứ hai sẽ lên cao h3 = h2. r = h1 . r2 vân vân… Tổng số quảng đường đi sẽ là
h = h1 + 2 h1. r + 2 h1. r2 + …
Sở dĩ có hệ số 2 cho những số hạng tiếp nối là vì, mỗi lần nẩy, tính đoạn đường phải kể hai lần, lên và xuống. Tổng số trên có thể cộng thêm h1 và sau đó trừ lại đi để viết thành
h = 2 h1 (1 + r + r2 + … ) - h1
Dựa theo phương trình (1) và (3) ta có thể viết lại là
h = h 1 (1+r) / (1-r)
Nếu tính h1 = 3 m và r = 0,81 ta sẽ tính ngay ra được tổng số đoạn đường đi của quả bóng là h = 28.58 mét.
Muốn tính tổng số thời gian nẩy của quả bóng, thì theo lý thuyết động lực học, nếu thả vật rơi trong chân không bỏ ra ngoài sức cản của không khí, chiều cao rơi sẽ là:
h = (1/2) g t2
mà thời gian t tính bằng giây đồng hồ, g gọi là độ gia tốc trọng lực với trị số g = 9,81 m/giây-giây.
Nếu h1 là độ cao đầu tiên thì thời gian đầu tiên sẽ rơi là
t 1 = √ (2 h1/g)
Sau khi nẩy lên chiều cao h2 = h1 . r , thời gian rơi xuống lần thứ hai sẽ là
t 2 = √ (2h2 /g) = t1 . √ r
Như thế có nghĩa là tỷ số rút gọn thời gian là √ r thay vì là r như tỷ số rút gọn của chiều cao. Bằng phép tính tương tự, tổng số thời gian là
t = t 1 (1 + √ r)/ (1 - √ r)
lần này, vì ta dùng r = 0.81 ta thấy √ r = 0.9. Nếu h1 =3m ta tính ngay ra t1 = 0,78206 giây và tổng số thời gian nẩy của quả bóng là t = 14,86 giây.
Ðể trình bày thêm một tính chất thiên nhiên của hình lục lăng, nhóm Tây đưa ra Hình 9 đã vẽ lại ngôi sao sáu cạnh của Hình 7, và nói là hình này có thể vẽ được bằng một nét mà không nhấc bút lên. Bằng chứng là theo lời chỉ dẫn trên hình, bắt đầu từ điểm A, đi theo đường có đề số 1, 2 vân vân … cho tới đoạn 18 để trở về điểm A rồi tiếp theo đó theo mũi tên đi vòng chu vi hình lục lăng để trở về điểm A lần nữa sẽ vẽ được hình này bằng một nét. Trong khi đó nếu muốn bắt chước như nhóm Tây mà bắt đầu bằng hình vuông thì khi nối những góc, không những đã không tạo được ra một cách liên tục những hình vuông mới mà mới chỉ có vài cạnh mà đã gặp khó khăn. Chẳng hạn ta thấy hình vuông với hai chéo góc trên Hình 9 không sao dùng một nét mà vẽ được. Nhóm Tây có tuyên bố là không những vẽ được một nét Hình 9 mà Hình 7 cũng vẽ được một nét, hay dù có tiếp tục tạo thêm những ngôi sao sáu cạnh nhỏ bên trong nữa, những hình phức tạp này cũng có thể dùng một nét bút để vẽ được như thường. Sau câu tuyên bố này, trong hội trường có nhiều tiếng xôn xao bàn tán. Có nhiều bạn tỏ vẻ hoài nghi nhưng lại ngại không muốn đặt câu hỏi vì sợ nhóm tây còn dành một bí mật lạ kỳ nào đó, chỉ đợi câu chất vấn này là tung thế võ ẩn tàng này ra áp đảo quần hào.
Hình 9
Trong khi chờ đợi nhóm trại sinh ngồi ở phương vị Nam chuẩn bị để thuyết trình, tôi muốn chia xẻ với bạn đọc ít nhận xét về bài thuyết trình của nhóm Tây. Các bạn trẻ đã có những nhận xét rất tinh tế về sự cấu tạo thiên nhiên của tạo hóa, về tính chất đối xứng của những hình nhiều cạnh đều, đặc biệt là hình lục lăng. Tuy vậy có nhiều tính chất không phải chỉ dành đặc biệt cho hình lục lăng đều. Chẳng hạn, theo như Hình 10, nếu bắt đầu bởi hình tam giác đều mà ta nối tâm điểm của những cạnh, ta sẽ được một hình tam giác đều có diện tích bằng 1/4 diện tích của tam giác lớn. Cứ thế mà vẽ tiếp diễn ta sẽ có những hình tam giác thu gọn dần dần theo tỷ lệ 1/4. Ta cũng có thể căn cứ vào hình này mà lý luận để tìm ra những công thức (2) và (3) cho tổng số của cấp số nhân. Nói cho đúng ra, thay vì dùng hình lục lăng đều, hình tam giác đều, hay hình vuông để tìm ra công thức cho tổng số một cấp số nhân, ta có thể chỉ dùng một đoạn thẳng AB theo tỷ lệ rút ngắn dần cũng vẫn được việc như thường. Một điều khác nữa là công thức (2) không phải chỉ đúng cho trường hợp r là một tỷ số thu gọn mà thôi mà cũng đúng khi r là một tỷ số bành trướng, nghĩa là a2 lớn hơn a1, với a 2 = a1 . r và r là một hệ số lớn hơn 1. Chỉ khác trong trường hợp này cấp số không hội tụ, tổng số Tn tăng lên vô cực với số n và công thức (3) không còn tồn tại.
Hình bên trái của Hình 10 có 5 tam giác ba cạnh đều lồng vào nhau. Hình này cũng có thể vẽ bằng một nét không cần nhấc bút lên. Bạn đọc có thể dò đường bắt đầu từ điểm A đi dần và ngược chiều kim đồng hồ để đi vào tam giác nhỏ trong cùng rồi lại cứ theo một chiều đi vòng ra để trở lại điểm A lần thứ hai là hoàn thành hình vẽ một nét. Dù có vẽ thêm vài tam giác đều nữa về phía ngoài hay vào phí trong ta cũng vẫn có thể vẽ được một nét như thường. Hơn nữa như tôi sẽ giải thích thêm ở dưới là bí quyết ở cách vẽ một nét là tùy thuộc vào mạch nối chứ không dính líu gì đến là hình vẽ có cạnh đều hay không, hay là hình nhiều nét hay ít nét. Chẳng hạn như hình vuông với hai đường chéo góc trên Hình 9 không thể vẽ được bằng một nét nhưng nếu ta vẽ thêm vào hai hình tam giác như trên Hình 10 thì hình mới này lại có thể vẽ bằng một nét.
Hình 10
Lý thuyết vẽ hình một nét bắt đầu câu chuyện bởi sự đi dọc qua những cây cầu của thành phố Konigsberg. Vào thế kỷ thứ 18 thành phố này thuộc về nước Ðức nhưng nay lại ở trên lãnh thổ của Nga, thành phố có con sông Preger chảy qua, giữa có hai hòn đảo, nối với nhau và hai bờ sông bằng bảy cây cầu như trên Hình 11. Mỗi ngày chủ nhật dân chúng trong thành phố lại diện quần áo mới đi dạo tản qua các cây cầu để thăm các phố phường. Ai cũng muốn tìm cách đi được sang cả hai bên bờ A và B và hai hòn đảo C và D mà mỗi cầu chỉ qua một lượt thôi.
Hình 11
Trải qua hơn một trăm năm mà vẫn chưa ai tìm thấy lời giải. Phải mãi tới năm 1736, qua nhà toán học thiên tài Thụy Sĩ là Leonhard Euler (1707-1783) lúc đó đang là khách thỉnh mộ của Nữ Hoàng Nga Catherine và đang lưu trú ở thành phố St Petersburg, bài toán này mới được chứng minh là không có lời giải. Euler là người đầu tiên đã nghĩ ra cách dùng đồ thị mạng lưới như trên Hình 11. Theo đồ thị này thì mỗi miền được tượng trưng bằng một điểm và mỗi cây cầu liên lạc được biểu thị bằng một đường nối hai điểm. Chẳng hạn giữa các đảo C và D chỉ có một đường liên lạc trong khi đó giữa đảo C và bờ sông A có hai đường liên lạc.. Tóm lại là bài toán là tìm cách nào vẽ được mạng lưới trên Hình 11 bằng một nét mà thôi, không đoạn nào được tô hai lần. Ở mỗi mắt hay cũng gọi là mỗi đỉnh như A,B,C và D nếu số đường đi qua là số chẵn thì gọi là đỉnh chẵn và số lẻ thì gọi là đỉnh lẻ. Nhà toán học Euler đã tìm ra được nhiều điều kiện cần thiết về số đỉnh lẻ và đỉnh chẵn để làm sao cho một hình dù phức tạp ra sao mà cũng có thể vẽ được một nét mà thôi. Ðặc biệt là ông nhận ra rằng, nếu là một đỉnh lẻ chẳng hạn có 3 đường thì phải là một đỉnh được dùng để xuất phát hay dùng để hồi đầu. Thật vậy, nếu dùng đỉnh này để đi thì có thể trở về một lần rồi lại ra đi chứ không thể trở về được nữa. Vì vậy muốn vẽ được một nét thì hình chỉ có thể tối đa là hai đỉnh lẻ, một đỉnh dùng để đi và một đỉnh kia sẽ là đỉnh tận cùng. Vì vậy theo Hình 11, mạng lưới của những cầu trên sông Preger quanh thành phố Konigsberg có tất cả 4 đỉnh lẻ và như vậy không thể vẽ một nét được. Muốn giữ 7 cây cầu mà làm cho bài tính có phép giải thì ta có thể bỏ cây cầu nối hai hòn đảo C và D và thay thế bằng một cây cầu khác bắc ngang qua sông Preger nối thẳng hai bờ A và B với nhau. Trên mạng lưới ta phải bỏ đoạn CD và thay vào đó bằng đoạn nối liền A và B. Hình mới này sẽ vẽ được bằng một nét mà thôi.
Bài toán 7 cây cầu mà Euler đã tìm ra lời giải và nới rộng một cách tổng quát hơn đã mở đầu cho môn học mới lạ gọi là Topology, dịch theo danh từ khoa học của giáo sư Hoàng Xuân Hãn là Hình Học Vị Tướng. Môn này còn được gọi là Analysis-situs dịch là Giải tích vị trí. Tạm thời ta có thể gọi tóm tắt là môn Topo. Viết thêm về môn này và viết sao cho hấp dẫn dễ hiểu thật là điều khó. Vậy tôi xin dành một bài khác. Tạm thời chúng ta có thể nhận thấy ngay là bằng cách vẽ mạng lưới ta có thể áp dụng môn Topo để giải quyết một cách thích nghi nhiều vấn đề về vận tải, giao thông, truyền thông, các mạch giây dẫn điện , các hệ thống điện thoại, điện tử vân vân … Mỗi lần gọi điện thoại viễn liên cho một người thân ở xa là tiếng nói của ta được truyền qua một mạch có những đường tiếp nối phức tạp nhưng lại mau lẹ. Mỗi lần đi phi cơ từ Ðông sang Tây hay từ Tây trở về phía Ðông mà ta phải đi xuống miền Nam để đổi phi cơ ở Dallas nếu đi American Airlines, hay trước hết phải đi lên miền Bắc để đổi phi cơ ở Minneapolis nếu đi Northwest Airlines là ta đã đi vào mạng lưới giao thông của các hãng hàng không. Họ đã nhìn vào mê hồn trận nghĩa là bản đồ nối hàng trăm đô thị với nhau. Theo môn Topo thì hình thể và đường dài hay ngắn lại không quan hệ mà vị trí tiếp nối nhau mới là điều chính. Nếu cần thì họ sẽ bỏ những đường lẻ và quy tụ lại những mấu chính, cốt sao bay ít đường mà lại chở được nhiều hành khách là được lợi cho họ. Cuốn sách đầu tiên về môn Topo được xuất bản năm 1847. Môn này tuy ít hấp dẫn nhưng lại có nhiều áp dụng thực tế trong tương lai.
Ðể kết luận đoạn này tôi vẽ để gửi đến bạn đọc một số hình vẽ được một nét như biểu thị trên Hình 12.
Những hình tam giác ở phía trái trông như những đợt của cây thông, có thể được đặt tên là “Chín đợt phù đồ” hình dung cho một cây bảo tháp chin từng. Gọi như vậy vì bạn đọc có thể nhìn lối vẽ và thêm vào 5 hình tam giác cho đủ bộ chín từng tháp, hay vẽ thêm nhiều hình nữa, hình toàn vẹn vẫn có thể dùng một nét mà vẽ được.
Muốn vẽ được hình thứ hai phải bắt đầu ở một đỉnh lẻ là chân của hình tam giác và kết thúc ở chân phía bên kia.
Hình thứ ba trông như hai lưỡi gươm cong là một hình vẽ có tên là “Ký hiệu của Muhammad”. Theo truyền thuyết vị Giáo chủ Hồi Giáo đã dùng thanh gươm vạch xuống cát hình này bằng một nét. Hình thứ tư có thể đặt tên “Lá thư tình bỏ ngỏ”. Muốn vẽ hình này bằng một nét phải bắt đầu ở một đỉnh ở phía dưới, là một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh dưới phía bên kia. Chúng ta đã biết là nếu gấp phong bì lại để khép kín lá thư thì ta lại có một hình như Hình 9 và không thể vẽ một nét được.
Hình thứ năm được gọi là “Trái tim nứt rạn”. Theo lý thuyết Topo thì vẽ hình này phải dùng hai nét. Nhưng bạn có thể đánh cuộc với người nào mà bạn thân thiết là có thể vẽ hình này một nét không cần nhấc bút lên. Nhưng bạn phải dùng mẹo sau đây: Lấy một tờ giấy trắng và gấp một góc vào phía trong. Bắt đầu nét vẽ từ trong tờ giấy và kéo ra ngoài đè lên phần giấy gấp và vòng trở lại bên trong. Sau đó mở giấy gấp ra là bạn đã vẽ được nét gạch bên trong trái tim và đầu bút lúc đó lại ở một điểm vành ngoài trái tim. Bạn tiếp tục vẽ khép kín cho trọn trái tim và thắng cuộc vì không nhấc bút lên.
Còn hình vẽ sau cùng thì tuy trông giản dị, nhưng theo các nhà nghiên cứu về Topo, muốn vẽ hình này phải dùng tới 4 nét mới vẽ xong. Bạn nào vẽ được bằng 3 nét thì nên công bố lời giải cho giới Toán học Topo được biết.
Hình 12
Hình Ngũ Giác của Phương Nam
và Điện Parthenon của Hy Lạp
Buổi hội thảo hôm đó và những trình bầy hứng thú của nhóm Ðông và nhóm Tây đã là một nguồn giải trí tinh thần cho các trại sinh. Sau bữa ăn trưa và sinh hoạt thể thao, các trại sinh lại tập hợp ở hội trường để tiếp tục nghe những thuyết trình của hai nhóm phương Nam và phương Bắc.
Những trại sinh ở phương Nam cũng dựa vào những luật thiên nhiên của tạo hóa. Theo các bạn ở phương Nam, đã là luật thiên nhiên tất phải theo lẽ luân hồi, sinh hóa. Tuy chủ trương đưa ra những nét tuyệt vời của hình mà nhóm mình đã lựa chọn, chứ không chỉ trích sự thiếu hoàn mỹ của những hình khác, thuyết trình viên của phương Nam cũng có nhận xét là hình lục lăng đều có vẻ nhân tạo hơn là thiên nhiên. Ðể chứng dẫn điều này, một bạn đã lưu ý hội trường là khi kiến tạo hình lục lăng đều, theo Hình 6, nhóm phương Tây đã dùng tới hai băng giấy. Giờ đây phương Nam đã chọn hình ngũ giác đều là hình tuyệt mỹ. Muốn xây dựng hình này một cách đều đặn, theo như Hình 13, ta chỉ cần một băng giấy để kết lại một cách rất tự nhiên một hình ngũ giác đều đặn.. Góc 1200 trong hình lục lăng đều là một góc có thể gọi là nhân tạo, trong khi đó góc 1080 trong hình ngũ giác đều là một góc tự nẩy sinh ra từ thiên nhiên. Vì vậy con số này được qúy trọng hơn. Tỉ dụ như trong truyện Thủy Hử đã chỉ nói đến 108 vị anh hùng Lương Sơn Bạc chứ không thêm vào nữa cho trọn số 120 vị hảo hán.
Hình 13
Ðể chứng tỏ thêm luật thiên nhiên của tạo hóa đã hướng dẫn loài người từ tâm suy của các triết gia thời xưa cho đến sự thực hiện kỹ thuật của những kiến trúc sư và kỹ sư của thời đại nguyên tử, nhóm Nam đã đặt ra một số câu hỏi, không phải để chờ đợi những câu trả lời, mà để mọi người cùng suy ngẫm.
-Tại sao những nhà bác học thời cổ đã chọn ngũ hành là: kim, mộc, thủy, hỏa, và thổ để làm căn bản tương xung, tương khắc.
-Tại sao cơ quan đầu não quân sự lớn nhất của thế giới lại đặt ở Ngũ Giác Ðài ?
-Nói về quân sự, khi có binh lực thật mạnh, người xưa lại chia việc chỉ huy ra cho năm quân là: tả quân, hữu quân, tiền quân, hậu quân và trung quân? Như dưới thời nhà Nguyễn, chức vụ võ quan cao cấp nhất là Chánh nhất phẩm được gọi là “Ngũ quân đô thống”
-Nếu thời xưa là cái gì thuộc dĩ vãng, cổ hủ thì trở lại nói chuyện ngày nay. Tại Hoa Kỳ, khi được vinh thăng cấp bậc Thống chế tột bực trong quân đội như Dwight David Eisenhower (1890-1969) thì được dùng mấy ngôi sao cho cấp hiệu?
-Tại sao có nhiều loài hoa hồng quý giá, hay cả những hoa thường như hoa dâm bụt lại nở ra năm cánh? Phải chăng đó chính là luật thiên nhiên của tạo hóa?
-Tại sao ngôi sao bể là một thủy tộc lại chỉ có năm nhánh thay vì bốn nhánh hay sáu nhánh ?
Nhóm Nam đã thu thập được một danh sách khá dài chừng vài chục câu hỏi tương tự. Ðồng thời để chứng tỏ trong nhóm mình cũng có đủ người phong nhã, thông thạo cầm, kỳ, thi và họa chứ không phải chỉ khô khan với toán học, một anh lại nói về âm nhạc cổ ngày xưa cung bậc đã đặt ra ngũ âm là cung, thương, giốc, trủy và vũ. Như khi tả về tài đánh đàn của Thúy Kiều, cụ Nguyễn Du đã viết:
“Cung thương lầu bực ngũ âm
Nghề riêng ăn đứt hồ cầm một chương”
Khi nói đến đoạn nàng Kiều gẩy đàn cho Hồ Tôn Hiến nghe cũng viết là:
“Bắt nàng thị yến dưới màn
Giở say lại ép cung đàn nhật tâu.
Một cung gió thảm, mây sầu
Năm cung giỏ máu năm đầu ngón tay”
Sau cùng, một chị trong nhóm này bưng ra một quả khế có năm khía và sau đó cũng sòa bàn tay ra có năm ngón cùng một lúc đọc hai câu thơ trong “Ðộng hoa vàng” như để trả lời những câu thơ đọc trước đây của một bạn ở nhóm Tây:
“Ngón tay nở nụ đào hương
Cầm nghiêng tịnh độ một phương diệu vời”
Sau phần mở đầu hướng nhiều về văn nghệ này, nhóm Nam mới đi vào phần lý thuyết toán học khi đưa ra Hình 14.
Hình ngũ giác đều có 5 cạnh bằng nhau và 5 góc bằng nhau, mỗi góc đo được 1080 . Trong hình có 5 đường chéo góc làm thành một hình ngôi sao đều có 5 cánh. Phía trong hình ngôi sao là một hình ngũ giác đều và hình này lại sinh ra một hình ngôi sao 5 cạnh đều thứ hai và cứ thế mà tiếp tục.
Hình 14
Khi vẽ hai đường chéo góc xuất phát từ bất cứ một đỉnh nào thì hai đường chéo góc này chia góc đỉnh làm 3 góc đều nhau, như vậy mỗi góc là 360. Như vậy hai đường chéo góc từ mỗi đỉnh, hợp thành với cạnh đối diện một tam giác cân, góc ở đỉnh là 360 và hai góc ở chân mỗi góc to gấp đôi là 720. Hình tam giác cân kiểu này có một tính chất thiên nhiên rất kỳ lạ, và được mệnh danh là “tam giác vàng” hay là kim tam giác. Tính chất này sẽ được nói tường tận ở đoạn sau. Bây giờ chỉ cần nhận định là 5 cánh của ngôi sao chứa trong hình ngũ giác đều là tam giác vàng, vì chúng đều là tam giác cân có góc ở đỉnh là 360. Những đoạn vẽ trên Hình 14 cắt nhau thành 35 đoạn là những cạnh của 5 tam giác vàng là những cánh ngôi sao lớn, những cạnh của 5 tam giác vàng là những cánh của ngôi sao nhỏ và 5 cạnh của hình ngũ giác đều nguyên thủy. Hình này có thể vẽ được bằng một nét bút. Sau khi tìm ra lối vẽ một nét của hình này, bạn đọc có thể tạo thêm một ngôi sao nhỏ hơn nữa ở bên trong tức là thêm 15 đoạn đường nữa là tổng cộng thành 50 đoạn vẽ của một hình ngũ giác bên trong chứa 3 ngôi sao 5 cánh. Hình mới này cũng có thể dùng một nét bút mà vẽ ra. Ta cũng có thể coi cách xếp đặt những tam giác vàng trong hình ngũ giác một cách khác bằng cách tô lại Hình 14 theo Hình 15.
Hình 15
Theo lối này, kể từ trong mà ra, mỗi hình ngũ giác đều lại được bao chung quanh bởi 5 hình tam giác vàng bằng nhau để tạo ra một hình ngũ giác mới. Cứ thế mà tiếp tục. Tỷ lệ giữa các cạnh và tỷ lệ giữa các diện tích của hai hình ngũ giác liên tiếp nhau được tùy thuộc vào một số gọi là “số vàng” có ký hiệu viết là Φ .
Trình bày tới đây nhóm phương Nam đã lôi cuốn được sự chú ý của hội trường và mọi người đều nóng lòng muốn biết thêm về sự huyền diệu của con số vàng mà các bạn trẻ đã nói là có liên quan đến sự tương sinh tương hóa của hình ngũ giác đều. Lúc đó trong hội trường có người đặt câu hỏi là: Trước đây nhóm phương Ðông và nhóm phương Tây đã cho biết sự tạo thành thiên nhiên của ba hình là hình tam giác đều có ba cạnh, hình vuông tức là hình tứ giác đều có bốn cạnh và hình lục lăng đều có sáu cạnh. Ba hình có cạnh đều này là ba hình đều độc nhất có thể dùng phủ kính mặt phẳng không để kẽ hở. Tất nhiên là hình ngũ giác đều không có tính chất này. Như ta nhìn lại Hình 1 thì sẽ thấy là không có chỗ cho hình 5 cạnh. Vậy hình ngũ giác đều đâu phải là một hình thiên nhiên.
Câu trả lời của nhóm phương Nam đã gây một chấn động trong hội trường. Theo nhóm này thì không gian hữu hình của chúng ta đang sống là không gian có ba chiều chứ không phải là không gian chỉ có hai chiều. Mặt khác theo lẽ tự nhiên của số học, sau hình ba cạnh và bốn cạnh sẽ phải tới hình 5 cạnh vì ba con số 3, 4 và 5 đi liền với nhau. Cũng vì vậy mà mấy ngàn năm trước đây người ta tìm ra hệ thức là “tổng số bình phương của hai số 3 và 4 sẽ cho ta bình phương của số 5”, tức là:
32 + 42 = 52
Và cũng vì sự suy luận sau 3 và 4 phải tới 5 mà Pythagoras đã tìm được định lý rằng: “một tam giác có cạnh tỷ lệ theo những số này phải là một tam giác có cạnh vuông”. Chính cũng vì sự thắc mắc là tại sao trong mặt phẳng lại nhẩy từ hình ba cạnh đều và hình bốn cạnh đều sang ngay hình sáu cạnh đều mà bỏ hình năm cạnh đều đã làm những nhà toán hình học tìm lời giải trong không gian ba chiều. Cách đây ba ngàn năm, người Ai Cập và vào khoảng hơn 500 năm trước Công nguyên, nhà toán và triết gia Hy Lạp là Pythagoras đã biết được rằng có ba cố thể mà tất cả các mặt đều có những hình có cạnh đều bằng nhau là hình tháp bốn mặt, hình tám mặt; ở hai cố thể này mỗi mặt đều là những hình tam giác đều bằng nhau và hình thứ ba là hình lập phương có sáu mặt, mỗi mặt đều là những hình vuông bằng nhau. Tới thời triết gia Hy Lạp là Plato vào khoảng 428-348 trước Công nguyên thì chứng minh được rằng chỉ có năm cố thể có mặt đều. Hai cố thể sau cùng như trên Hình 16, là cố thể có 20 mặt, mỗi mặt đều là những hình tam giác đều bằng nhau và cố thể có 12 mặt mỗi mặt là những hình ngũ giác đều bằng nhau.
Từ đó năm hình này được gọi là “năm cố thể đều của Plato”. Cái triết lý suy ra từ sự khám phá này là quả thực tạo hóa đã dành cho hình ngũ giác đều một địa vị đặc biệt hơn là hình lục lăng đều. Cũng vì cố thể mặt ngũ giác đều có 12 mặt mà nhiều nhà kỹ nghệ lớn hàng năm đã dùng cố thể này để làm khối lịch chặn giấy, mỗi mặt in một tháng trong năm, và gửi tặng thân chủ làm quảng cáo.
Hình 16
Phần trình bày về số vàng và sự liên hệ tới hình ngũ giác đều hơi nặng về lý thuyết toán học. Vì vậy tôi xin thay lời cho các bạn trại sinh ở phương Nam, kể lại từ nguồn gốc cho dễ hiểu hơn.
Vào thế kỷ thứ 13, một trong những nhà số học thời trung cổ này là Leonardo da Pisa (1175-1250) và được gọi tên là Fibonacci, theo tiếng Ý là “con trai của ông Bonacci”. Toán học ở thời đại này thì thật ra không tạo được nhiều điều đặc biệt để lưu lại hậu thế, nhưng tình cờ Fibonacci lại tìm ra được Số liệt, tức là một giẫy số, khá trùng hợp với sự cấu trúc của tạo vật như sau:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Muốn viết số liệt này thì bắt đầu bởi số 0 và số 1, rồi kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng lại bằng tổng số của hai số hạng đứng trước. Bạn đọc có thể coi số liệt ở trên để kiểm lại định luật để viết số hạng tôi vừa kể.
Nhiều nhà thảo mộc học đã tìm ra rằng các lá cây hay nụ hoa nở trên một cành thường nẩy mầm theo số liệt Fibonacci. Muốn dễ hiểu, ta lấy những số Fibonacci 3,5,8,13 thì sẽ thấy là nhiều giống hoa đã chọn những số này là số cánh hoa. Một thí dụ đặc sắc nhất là sự bố trí các hạt trên mặt hoa hướng dương, hay còn gọi là hoa quỳ, được biểu thị trên Hình 17.
Hình 17
Những hạt trên mặt hoa được xếp theo những hình xoắn ốc rất đặc biệt trong toán học gọi là những hình xoắn ốc Logarit. Như trên hình có những đường xoắn theo chiều kim đồng hồ và những đường xoắn theo chiều ngược lại. Ðiều kỳ lạ là số đường xoắn thuận và số đường xoắn nghịch không bằng nhau mà lại theo như số liệt Fibonacci. Chẳng hạn hoa nhỏ có 13 đường xoắn theo một chiều và 21 đường theo chiều kia. Hoa lớn có thể theo những số (34,55) và người ta cũng đã tìm được những hoa thật lớn có số vòng theo số liệt (89,144)
Một sự trùng hợp tự nhiên nữa là nếu ta lấy ba số liên tiếp trong số liệt Fibonacci rồi lấy tích số của hai số đầu và cuối rồi trừ đi bình phương của số ở giữa thì sẽ được +1 hay -1. Tỉ dụ theo số liệt đã viết ở trên, ta thấy:
2.5 - 32 = 1
3.8 - 52 = -1
5.13 - 82 = 1
8.21 - 132 = -1
13.34 – 212 = 1
Ðiều huyền diệu nhất ở trong số liệt Fibonacci là “nếu gọi Fn là một số hạng trong số liệt thì tỷ số hai số hạng liên tiếp, tức là tỷ số Fn+1/ Fn sẽ dẫn đến một số Φ mà các nhà toán học qua các thời đại đã đồng ý đặt tên là số vàng. Theo số liệt viết ở trên ta tính những số hạng theo hai cột dưới đây.
3/2 = 1,500000 5/3 = 1,666667
8/5 = 1,600000 13/8 = 1,625000
21/13 = 1,615385 34/21 = 1,619048
55/34 = 1,617647 89/55 = 1,618182
144/89 = 1,617978 233/144 = 1,618056
Φ = 1,618033989 …
Cứ tiếp tục mà tính ta sẽ thấy cột bên trái tỷ số tăng dần và tỷ số bên phải giảm dần để cùng hội tụ lại một số Φ gọi là số vàng. Vậy số vàng ở đâu mà ra, và tại sao lại được trân quý như vậy ?
Ý kiến để tìm ra số này lại rất giản dị. Lấy một đoạn thẳng bất kỳ gọi là AC. Trên đoạn này chọn một điểm B chia đoạn AC thành một đoạn dài là AB và một đoạn ngắn hơn là BC. Chọn điểm B làm sao để cho tỷ số AB/BC cũng bằng tỷ số AC/AB.
Viết theo phương trình và gọi tỷ số chung này là Φ, ta có
AB/BC = AC/AB = Φ
Nếu ta lấy đoạn AB = 1 là đơn vị để đo các đoạn, thì ta có ngay AC = Φ , và BC = Φ - 1. Như vậy, muốn tính tỷ số Φ ta có phương trình
Φ = 1/ (Φ - 1) (1)
Nói một cách khác, tỷ số Φ là một số mà khi trừ đi 1 rồi lấy số nghịch đảo ta lại được số Φ. Phương trình (1) là một phương trình đại số bậc hai và nếu lấy đáp số có trị số dương ta tính được ngay là
Φ = (1/2)(1 + √ 5) = 1,618033989…
Phương trình (1) cũng có thể viết là
Φ (Φ - 1) = 1 (2)
Nghĩa là lấy số Φ trừ đi 1 rồi nhân với chính nó sẽ lại thành 1. Ta có thể nghiệm lại là
(1,618033989…) (0,618033989…) = 1
Tỷ lệ này có nhiều tính chất kỳ diệu, tỷ dụ như đã nói ở trên số Φ là giới hạn của tỷ số hai số hạng liên tiếp trong số liệt Fibonacci. Trong một bài viết năm 1502, nhà số học Paccioli gọi tỷ lệ này là proportio divina. Nhà thiên văn học lừng danh là Johannes Kepler (1570-1630), người đã tìm ra những định luật chính cho sự chuyển vận của các hành tinh, và cũng là người trước tiên nhận ra sự liên hệ của số liệt Fibonacci và sự trổ lá và hoa của loài thảo mộc, gọi sự chia phân này là sectio divina, cả hai tên đặt đều có ngụ ý siêu phàm. Sau cùng tới nhà họa sĩ, điêu khắc gia, kiến trúc sư và kỹ sư lừng danh kim cổ là Leonardo da Vinci (1452-1519) đã chú ý đến và gọi số Φ là sectio aurea, và từ đó số này được gọi là kim số hay số vàng.
Muốn vẽ tỷ số này ta có thể làm như sau theo Hình 18. Trước hết vẽ đường thẳng góc tại C với đoạn AC và trên đó lấy độ dài CD bằng nửa độ dài AC. Nối đoạn AD cho thành tam giác vuông ACD. Dùng compa với D là trung tâm và DC là bán kính, vẽ phần vòng tròn gặp DA ở điểm E. Sau đó dùng compa với A là trung tâm và AE là bán kính vẽ phần vòng tròn cắt AC ở điểm B là điểm phải tìm.
Hình 18
Ðôi khi ta phải làm bài tính ngược lại như sau: Cho sẵn một đoạn AB, kiến tạo đoạn AC để cho AC/AB = Φ, là số vàng nói ở trên.
Muốn vẽ được đoạn này thì làm theo như Hình 19. trước hết với AB là cạnh, vẽ hình vuông ABEF. Sau đó lấy O là trung điểm của AB. Trên đường thẳng AB lấy OC = OE. Ðiểm C là điểm ta tìm.
Hình 19
Bây giờ vẽ cho trọn hình chữ nhật ACDF, tức là hình chữ nhật mà tỷ số cạnh dài chia cho cạnh ngắn bằng số vàng Φ = 1,618. Hình chữ nhật này có tên là “hình chữ nhật vàng”. Các bạn có biết rằng tiền nhân đã tiên tri được rằng “cuối thế kỷ thứ 20 này loài người sinh ra thứ tiền plastic bằng những tấm các vàng có hình thể giống như hình chữ vàng” hay không ? Thật vậy, nhiều nhà tâm lý học đã làm những cuộc thử nghiệm và thấy rằng hình chữ nhật có cạnh theo tỷ số vàng là một hình được ưa chuộng nhất. Cũng vì thế mà những họa sĩ khi lựa chọn kích thước cho những cạc plastic ta vẫn dùng, đã chọn tỷ lệ vào khoảng 1,59 nghĩa là cũng gần bằng tỷ số vàng. Tỷ số này vì là một mỹ số nên vô hình chung hay được dùng trong hội họa và kiến trúc. Một thí dụ đặc biệt là điện Parthenon ở Hy Lạp được kiến trúc 5 thế kỷ trước Công nguyên, diện tiền đã lọt đúng trong khuôn khổ một hình chữ nhật vàng theo như Hình 20.
Hình 20
Hình chữ nhật vàng hay gọi tắt là hình kim nhật, có một tính chất hóa sinh rất đặc biệt. Theo như Hình 19, lấy một hình kim nhật ACDF rồi cắt bỏ đi hình vuông ABEF. Hình chữ nhật còn lại là hình BCDE trở thành một hình kim nhật khác.
Như thế là vì hình chữ nhật lớn là hình kim nhật nên nếu lấy đoạn AF = 1 làm đơn vị để đo chiều dài thì AC = Φ. Nay bỏ hình vuông đi mà lấy hình chữ nhật BCDE thì trong hình này ta có các cạnh
BC = AC - AB = Φ - 1 và CD = AF = 1
Như vậy, tỷ số các cạnh của hình chữ nhật này là
CD/ BC = 1 / (Φ – 1)
Ðem so sánh với hệ thức (1) thì tỷ số này cũng bằng số vàng Φ.
Hình 21 cho thấy sự hóa sinh dần dần bắt đầu từ một hình kim nhật lớn ở ngoài cùng. Mỗi lần cắt bớt đi một hình vuông lại có một hình kim nhật nhỏ hơn. Mỗi lần thu gọn, tỷ số thu gọn về chiều dài là (1/Φ) = 0,618…, và như thế diện tích sẽ nhỏ hơn theo tỷ số 1/Φ2 = 0,381966… Nếu ở mỗi hình vuông dùng compa để vẽ những phần tư vòng tròn liên tiếp nhau thì sẽ được Hình xoắn ốc Logarit như trên hình vẽ. Trong tất cả những hình được gọi tên chung là hình xoắn ốc, thì hình xoắn ốc Logarit có đặc tính là dù ở gần tâm điểm hay vòng ra ngoài xa, hình dạng vẫn giữ nguyên. Tâm điểm này, là điểm O, là điểm gặp nhau của những đường chéo góc của các hình kim nhật.
Trên đường xoắn ốc Logarit, nếu lấy một điểm M bất kỳ và vẽ bán kính OM và tiếp tuyến MT với đường xoắn ốc ở điểm M thì góc α giữa OM và MT lúc nào cũng giữ nguyên một trị số. Ðó là đặc tính của đường xoắn ốc Logarit.
Hình 21
Nay trở lại hình ngũ giác đều và ngôi sao năm cánh nội tiếp như ở trên Hình 14. Trước Công nguyên 5 thế kỷ, trường phái Pythagoras đã biết được rằng tỷ số giữa cạnh của ngôi sao 5 cánh và cạnh của hình ngũ giác là số vàng. Ðồng thời môn đồ của trường phái này đã biết dùng thước kẻ thẳng và compa để chia tỷ số vàng. Như thế nghĩa là họ biết cách để vẽ hình ngũ giác đều nhưng lại giữ kín không cho người ngoài được biết. Nay bạn đọc hãy thử cùng tôi dùng phương pháp đã tìm ra để vẽ một hình ngũ giác đều như sau. Chẳng hạn ta hạn định trước cho biết cạnh a của hình ngũ giác. Ta dùng phương pháp trên Hình 19 lấy đoạn AB = a và vẽ ra được cạnh AC = a.Φ = d là cạnh của ngôi sao 5 cánh.
Sau đó vẽ tam giác cân ACD như trên Hình 22, có đáy DC = a và cạnh AC = AD = d. Như vậy tỷ số giữa cạnh chân đều và đáy của tam giác này là số vàng d/a = Φ.
Hình 22
Tam giác này chính là tam giác vàng, góc ở đỉnh 360 và ở hai đáy là 720. Sau đó từ điểm A làm tâm, vẽ vòng tròn bán kính là a và từ những điểm C và D làm tâm điểm vẽ những vòng tròn bán kính cũng là a. Những vòng tròn này cắt nhau ở những điểm B và E là những đỉnh còn lại của hình ngũ giác đều.
Tam giác vàng là tam giác cân, có tỷ số của cạnh đều chia cho cạnh đáy là số vàng Φ. Ðặc biệt là góc ở đỉnh là góc 360 , trong khi đó tổng số ba góc của một tam giác là 1800 , nên mỗi góc ở đáy của tam giác vàng là 72 0 tức là đo bằng đúng hai lần góc ở đỉnh. Ðặc biệt những con số như số 36 và số 72, được người đời coi như là những số ưu việt, nghĩa là nếu được thêm vào thì coi như là thừa và nếu bớt đi thì lại thấy thiếu sót. Cũng vì vậy mà trong sách Nam sử có câu:
“Tam thập lục sách, tẩu vi thượng kế”
có nghĩa là trong ba mươi sáu phương cách thì chạy đi là hơn cả. Cụ Nguyễn Du cũng dùng câu này để tả lời nói của Sở Khanh khi rủ Kiều đi trốn:
“Thừa cơ lẩn bước ra đi
Ba mươi sáu chước, chước gì là hơn ?
Trong những truyện kiếm hiệp, nhà văn Kim Dung cũng nói là phái Thiếu Lâm có tất cả 72 tuyệt kỹ, tức là coi con số này như là một số viên mãn.
Theo Hình 22, nếu ở đáy tam giác ta vẽ đường phân giác DF chia góc ra làm hai thì ta tạo ra được một tam giác DCF, có góc ở đỉnh là 360 và hai góc ở chân, mỗi góc bằng 720. Ðó là tính chất hóa sinh của tam giác vàng vì cách chia này đã tạo ra một tam giác vàng mới là DCF với tỷ số thu gọn là 1/Φ cho chiều dài và tỷ số 1/Φ2 cho diện tích, giống hệt như là tỷ số hóa sinh của hình kim nhật. Hình 23 cho ta thấy sự hóa sinh dần dần bắt đầu từ một tam giác vàng và cứ thế mà tiếp diễn. Nếu dùng những tam giác được cắt bỏ đi mà vẽ những vòng cung như ở trên hình và tiếp nối những cung này lại với nhau thì ta lại kiến tạo được một hình xoắn ốc logarit.
Hình 23
Mỗi lần một nhóm đứng lên thuyết trình thì các trại sinh lại được thấy một vẻ hay đẹp và lạ kỳ để cho mọi người cùng thấy là toán học và đặc biệt là môn hình học là một môn khoa học do thiên nhiên nẩy sinh mà ra. Các nhà toán học chỉ là những người đi khám phá ra những chân lý đã có sẵn trong trời đất. Con người vốn yêu chuộng thiên nhiên và qua mấy thiên kỷ, toán học đã đưa con người lại gần với thiên nhiên.
Sau bài thuyết trình của phương Nam, trời đã bắt đầu ngả về chiều, nắng cuối mùa hè đã chênh chếch chiếu những ánh sáng chói lọi trên khoảng hội trường ngoài trời. Bên cạnh hai tấm hình vẽ những hình xoắn ốc quanh những hình kim nhật và những hình kim tam giác là một cặp trại sinh, một anh và một chị, với những vẻ hiên ngang và diễm kiều. Những hình ảnh đẹp này đã gây phấn chấn cho mọi người. Dân tộc Việt Nam với mấy ngàn năm văn hóa đã tiếp tục nẩy sinh ra những anh tài, từ đời này qua đời khác. Sau những bài thuyết trình của những nhóm trại sinh ở phương Ðông, phương Tây và phương Nam, niềm tin hóa sinh của dân tộc đã được ghi sâu đậm trong lòng mọi người. Sau những giờ phút sôi nổi tranh luận và học hỏi, giờ đây hội trường lại trở về im lặng để chờ nghe những gì thật độc đáo sẽ do những trại sinh ở phương Bắc trình bầy.
Hình Vuông của Phương Bắc và
Định Lý của Pythagoras.
Nhóm phương Bắc đã chọn hình vuông là hình tuyệt mỹ. Phương pháp trình bày của họ thật khác với các nhóm khác. Thay vì chỉ đề cử một vài người ra đại diện để trình bày những nét hay lạ của hình mà nhóm mình đã lựa chọn, lần này toàn thể đã cùng đứng lên. Nhóm này hình như có vẻ là đông đảo nhất, mà theo nhiều tin tức thì nghe đâu trước đây họ có tập luyện phần diễn xuất này để quyết tâm đạt được khôi nguyên.
Phần đông bạn đọc, kể cả những người sau này theo đuổi về văn chương thuần túy, thì ít ra trong thời gian còn ở những lớp đầu bậc trung học cũng đã quen thuộc ít nhiều với những bài toán hình học. Nay nhớ lại thì chắc cũng nhận ra rằng thường thường ta làm toán với những hình tam giác và hình tròn. Thật khó lòng mà ta nhớ được một định lý, hay một tính chất gì thật đặc sắc của hình vuông là một hình thật giản dị và đặc biệt lại không bao giờ biến dạng. Vì vậy muốn biểu diễn được sự tuyệt mỹ của hình này thì tất nhiên nhóm phương Bắc phải có một phép thần thông quảng đại nào đó. Vì họ đã đoan quyết với ban tổ chức là cuối chương trình sẽ “dốc ra một bầu tiên” để rót nước ngọt khai vị cho bữa ăn tối nên ban tổ chức đã bằng lòng để họ trình bày ở màn cuối cùng và cho thêm thời hạn vì lối trình bầy của nhóm phương Bắc có kèm thêm cả phần phụ diễn của toàn thể thành viên của họ.
Vì chương trình của phương Bắc khá dài và nếu muốn hiểu thấu ý chính của họ ta phải theo một thứ tự khá chặt chẽ nên để kể lại chuyện này cho trung thực tôi cần viết thành nhiều tiểu mục như sau đây:
Xây Lại Tử Cấm Thành
Ðể mở đầu, hai bạn trẻ cầm hai đầu sợi giây khá dài, ở chính giữa có buộc một nút đỏ đánh dấu và ra hội trường căng thẳng sợi giây theo hướng Bắc Nam như trên Hình 24. Qua lời giải thích của một bạn khác thì đêm qua một thành viên trong nhóm thạo về thiên văn đã dùng kính kinh vĩ định một cách chính xác hướng Bắc Nam này. Sau khi dùng cọc để đánh dấu những điểm B và N, tượng trưng cho mặt Bắc và mặt Nam, và đồng thời cả trung tâm điểm O, hai bạn, mà ta tạm đặt tên là B và N, đã biểu diễn trò quăng dây như sau. Hai người dùng một sợi dây ngắn hơn và B đứng nguyên tại chỗ trong khi N kéo thẳng sợi giây và vạch trên đất hai khung nhỏ gọi là những cung n. Sau đó đến lượt N trở về vị trí của mình, và ở đầu giây căng thẳng bên kia B vạch trên đất hai cung nhỏ khác gọi là những cung b. Những cung b và n cắt nhau tại hai điểm được dùng cọc đánh dấu trên mặt đất. Ðặc biệt là những điểm này thẳng hàng và cách đều điểm O. Sau cùng hai bạn B và N chuyển phương vị, hai người dùng sợi giây dài đầu tiên và kéo thẳng để cho sợi giây đi qua những điểm chung của b và n và để cho mấu nút đỏ trung tâm của sơi giây nằm đúng điểm O. Khi hoàn tất sự di chuyển này thì lại đứng ở hai phương vị được dùng cọc đánh dấu, chính là hai phương vị Ðông và Tây. Bốn điểm đã đóng dấu là Ð, T, N và B chỉ bốn phương vị Ðông, Tây, Nam, và Bắc chính là bốn đỉnh của một hình vuông đã được hai bạn trẻ của nhóm phương Bắc dùng giây để vẽ và chăng trên mặt đất phẳng giữa hội trường. Hình này có bốn cạnh bằng nhau mà ta thường gọi chung là hình thoi. Nhưng đặc biệt ở đây, theo phép vẽ quăng giây này, những đường chéo Ðông Tây và Nam Bắc lại bằng nhau. Hình tạo ra là một hình vuông.
Hình 24
Sau phép vẽ này thì các bạn của nhóm phương Bắc ra nắm tay nhau xếp thẳng hàng song song với những đường chéo để tạo thành một bức thành vuông vắn, có bốn cửa hướng về bốn phương. Trở lại các lịch sử của các nước Ðông phương thì từ mấy ngàn năm nay, các vị đế vương đã xây thành quách cung điện bao giờ cũng theo hình vuông hướng về bốn phương hướng chính là Ðông, Tây, Nam và Bắc. Các trại sinh đã diễn lại sự tích xây Tử Cấm Thành này để nhấn mạnh ở điểm “tứ diện nghiêm minh” của hình vuông. Theo lời dẫn giải thì các vị hoàng đế độc tôn khi xưa đã xây tam cung và dựng lục viện để ngự trị trên muôn dân. Ðể bảo vệ ngai vàng và chống giữ biên thùy, họ đã có ngũ quân hùng mạnh. Nhưng trong việc cai trị, nhà vua lại cần đặt ra bốn chức quan đại thần gọi là tứ trụ triều đình, như bốn cây cột để giữ cho vững nền quân chủ độc tôn. Xét ra như vậy, thì theo nhóm phương Bắc trong bốn số tam, tứ, ngũ và lục thì con số bốn được coi là con số vương giả, đứng đầu trên hết. Và vì vậy họ đã chọn hình bốn cạnh và đặc biệt là hình vuông. Cũng vì thế mà hình này được đặt tên là “chính phương hình”.
Phép Ðạc Ðiền của người Ai Cập và Văn Tự của người Tầu
Trò quăng giây mà các bạn trẻ đã biểu diễn thực ra là phương pháp chính thức để chia ruộng đất, tức là phép đạc điền mà người Ai Cập đã dùng vào khoảng 1700 năm trước Công nguyên. Hàng năm, sau mùa nước lũ dâng lên tràn ngập hai bờ sông Nile ở xứ này, khi nước rút xuống để lại hai bên bờ những giải đất mầu mỡ phủ lớp phù sa, vị Quốc Vương trị vì thời đó, được gọi là Pharaoh lại ra lệnh cho các vị quan đạc điền chia lại ruộng đất cho người dân. Muốn tránh kiện tụng, họ phải chia ruộng thật vuông vắn và những nhà thông thái thời cổ đã tìm ra phương pháp để vẽ những đường thẳng góc bằng những sơi giây căng thẳng được coi như là những chiếc compa khổng lồ. Hình học được khai sinh ra từ phương pháp đo đất. Gần một ngàn năm trước Công nguyên, khi những nhà thông thái Hy Lạp bắt đầu khai triển môn này, họ đặt tên môn học bắt đầu bằng chữ Geo nghĩa là đất. Theo tiếng Anh hay tiếng Pháp, ta dịch chữ Geography (hay Géographie) thành Ðịa lý học. Tuy vậy ta lại quen gọi Geometry (hay Géométrie) là Hình Học mà thực ra theo tiếng nguyên thủy người Hy Lạp đặt ra thì môn này có nghĩa là môn học đo đất (Geometria) chứ không phải là môn học của các hình.
Hình 25
Sau phần dẫn giải cách dùng giây để vẽ đường thẳng góc, một bạn lại đóng vai thầy đồ để nói về văn tự của người Tầu và cũng là lối viết chính của người Việt chúng ta cách đây hơn một trăm năm và cắt nghĩa tại sao văn tự này lại dùng hình vuông và đường thẳng góc. Theo như bảng viết được sao lục lại ở Hình 26 thì chữ đầu tiên kể từ trái sang phải và từ trên xuống dưới là chữ Ðiền có nghĩa là ruộng đất. Lối viết chữ của người Tầu là dùng tượng hình nghĩa là dùng hình vẽ giản dị để diễn tả thành chữ. Vì vậy họ dùng hình chữ điền vuông vắn như ô ruộng. Chữ kế tiếp là chữ Chính khi viết ra dùng những nét thật vuông vắn, ngang bằng sổ ngay, vì chữ này có nghĩa là ngay thẳng, là lẽ phải, đúng với đạo lý. Như đã nói ở trên, hình vuông được người Tầu gọi là chính phương. Góc vuông là góc 90 độ được gọi là chính giác. Cư xử ngay thẳng được coi là chính đại quang minh. Ðường lối đúng mực được gọi là chính đạo. Những chữ này tuy bắt nguồn ở chữ Hán nhưng nay được dùng bổ xung làm phong phú cho tiếng Việt. Vì vây mà tuy là buổi học hỏi về toán mà các trại sinh lại rất thích thú được biết thêm về những nét hay đẹp của tiếng Việt. Anh bạn trẻ đóng vai thầy đồ, khi được cổ võ lại thao thao bất tuyệt tiếp tục giảng thêm. Theo anh bạn, tháng Giêng tức là tháng đầu tiên trong năm được gọi là chính nguyệt. Trong một gia tộc, ngành của con trưởng là ngành chính, được gọi là chính chi. Nói chung chữ chính được tạo nên bởi những nét vuông vắn được dùng chung để chỉ những gì ngay thẳng, cao đẹp, trong đó có cả hình vuông là hình của phương Bắc. Ðể kết luận về chữ chính, người bạn trẻ đưa ra câu “Chính bản thanh nguyên” có nghĩa là gốc thẳng nguồn trong để bộc lộ rằng khi một thân cây mọc thẳng lên, một nguồn suối có mạch trong trẻo thì bao giờ cũng nẩy sinh ra những kết quả tốt đẹp.
Chữ thứ ba được phân tách là chữ Vương cũng được viết theo phương sách là dùng những nét ngang dọc thật ngay thẳng. Chữ này theo nghĩa thường thì để dùng cho vị vua chúa. Nhưng nói chung, nhất là ở thời đại này, thì chữ vương được dùng để chỉ những gì thật cao đẹp. Ta thường dùng chữ vương đạo để chỉ đường lối ngay thẳng. Chữ vương giả hương để chỉ loài hoa lan thật cao quý.
Ở hàng dưới, chữ đầu tiên là chữ Trung. Viết chữ này ta dùng một nét sổ thật ngay ngắn ở giữa để chia đôi một hình vuông vì chữ trung có nghĩa là ở giữa, là thật ngay thẳng, không chênh lệch. Trong phép xử thế, dù đối với bè bạn, hay với người trên của mình và nói rộng ra, trong cuộc đời, đối với quê hương đất nước, theo đạo lý của giòng giống Bách Việt chúng ta, chữ trung rất được quý trọng. Muốn viết chữ này thì ta viết chữ trung như ở trên hình và ở phía dưới thêm chữ tâm, có ba dấu chấm và một dấu móc để chỉ tấm lòng, cộng lại có nghĩa là cư xử trước sau lúc nào cũng một lòng, một dạ. Ðể chỉ tính người nam nhi, những cụm từ như trung kiên, trung thành, trung dũng hay được dùng để khen ngợi.
Chữ tiếp theo, giản dị có ba nét, cũng vẫn theo phương pháp ngang bằng, sổ ngay là chữ Sĩ . Chữ này nguyên để chỉ người học trò ngụ ý là người đọc sách, tâm hồn cao đẹp. Qua nhiều thời đại, kẻ sĩ bao giờ cũng được quý trọng nên trong văn từ người ta dùng chữ sĩ để tỏ khí tiết hơn người qua những cụm từ như sĩ khí, sĩ tiết. Trong Cổ thư có câu: “Sĩ khả lục, bất khả nhục” có nghĩa là người xứng đáng với chữ sĩ thì có thể cho bị giết chứ không chịu để cho bị làm nhục.
Chữ sau cùng, cũng vẫn theo lề lối viết chữ vuông vắn là chữ Giáp là chữ đứng đầu tiên trong thập can là Giáp, Ất, Bính, Ðinh, Mậu, Kỷ, Canh, Tân, Nhâm, Quý. Cái gì được quý trọng mới xếp hàng đầu. Ðưa chữ giáp này ra và nhấn mạnh ở chữ viết vuông vắn lại có nét sổ thẳng góc ở chính giữa là nhóm phương Bắc muốn phô bầy rằng hình vuông tức là chính phương hình mà họ đã lựa chọn thật xứng đáng làm khôi nguyên trong các hình. Trong các kỳ thi Ðình khi xưa, khi được đệ nhất giáp tức là được tên ở bảng đầu. Ðỗ đầu là Trạng Nguyên là người được gọi là tiến sĩ đệ nhất giáp, đệ nhất danh.
Hình 26
Vẫn trong mục kể tích sử ngày xưa, bạn đóng vai thầy đồ phương Bắc dẫn giải thêm sự tích về Huyền Trân Công Chúa. Ở nước ta vào năm 1306, đời vua Trần Anh Tôn, vua Chiêm Thành là Chế Mân muốn lấy Huyền Trân Công Chúa là em gái vua, mới dâng cho ta châu Ô và châu Lý, sau đổi tên là Thuận Châu và Hóa Châu, nay phần đất gồm có nửa tỉnh Quảng Trị và các tỉnh Thừa Thiên và Quảng Nam. Khi nói đến đất đai là nói đến diện tích vuông vắn, bao giờ cũng đáng quý trọng, nhất là nay thuộc vào phần đất của nước ta. Ðược như vậy mà chỉ gả chồng đi một nàng công chúa mà sau này khi vua Chiêm Thành mất, vua ta lại cử Thượng tướng Trần Khắc Chung sang tìm kế đón được công chúa về. Vì vậy nên ông Hoàng Cao Khải là một Phụ chính Ðại thần triều vua Thành Thái đã làm bài thơ vịnh trong có hai câu
Hai châu Ô, Lý vuông ngàn dặm
Một gái Huyền Trân của mấy mươi
Sau phần đầu tiên nặng về trình diễn lại đượm thêm mầu sắc văn học sử liệu, các thành viên của phương Bắc mới trở về vị trí để bắt đầu phần nối tiếp để trình bầy những tính chất toán học đặc sắc mà hình vuông có thể tạo ra.
Hình vuông đã được gọi là chính phương hình, và góc vuông được gọi là chính giác. Như thế thì đủ biết là hình vuông và góc vuông đã được người phương Ðông tự cổ xưa chú ý đặc biệt đến. Xây thành quách hay đo ruộng đất, người ta đều dùng hình vuông làm căn bản. Ở lịch sử thượng cổ ở phương Tây, và đặc biệt là miền Trung Ðông, vùng Ai Cập cách đây bốn ngàn năm, những nhà thông thái đã biết được hai tính chất đặc biệt của hình tam giác, có liên hệ đến góc vuông và hình vuông.
Thứ nhất là nếu ta vẽ một hình tam giác bất kỳ và sau đó ta đo ba góc và cộng lại thì sẽ được 1800 nghĩa là thành hai góc vuông. Ðịnh lý này đúng một trăm phần trăm cho bất kỳ một tam giác nào. Ðiều này đối với chúng ta bây giờ thật là phổ thông, ai cũng biết, nhưng tôi vẫn nhắc lại. Thứ nhất là để giới thiệu một chứng minh độc đáo. Thứ hai là để dùng cho một phép lạ do các bạn phương Bắc sẽ biểu diễn sau này.
Hình 27
Hình vẽ bên trái của Hình 27, là một tam giác bất kỳ, nghĩa là các cạnh và các góc không bằng nhau, gọi là tam giác ABC. Gọi M và N là những trung điểm của những cạnh BC và CA. Tự đó ta vẽ những đường gạch quãng ở trên hình. Giờ nếu bạn đọc dùng kéo cắt tam giác và gấp lại theo những đường gạch quãng thì sẽ đưa ba đỉnh A, B và C đến chụm vào điểm I. Ta sẽ thấy ba góc cộng lại thành một góc phẳng là 1800 nghĩa là thành hai góc vuông, mỗi góc là 900.
Một lối chứng minh nữa là thay vì gấp hình, ta dùng kéo để cắt tam giác theo đường MH và NK như ở hình vẽ bên phải của Hình 27. Sau đó ráp hai tam giác nhỏ MHB và NKA, đánh dấu 1 và 2, theo vị trí mới ta sẽ được một hình chữ nhật HH’K’K, và ba góc tam giác nay cộng lại ở điểm C cũng thành hai góc vuông.
Tính chất thứ hai của một tam giác đặc biệt mà người Ai cập đã biết cách đây bốn ngàn năm là nếu một tam giác to hay nhỏ bất kỳ, mà có cạnh tỷ lệ theo những số 3, 4 và 5 thì tam giác đó có một góc vuông là góc đối diện với cạnh dài nhất, gọi là cạnh huyền.
Người dân được chỉ dẫn lấy một sợi giây buộc thành nhiều nút cách đều nhau, và khi chăng giây thành ba góc có những cạnh là 3, 4 và 5 thì sẽ được góc vuông. Những nhà số học, đi tìm những liên lạc huyền bí giữa các số và các hình, đã tìm ra được ngay là lấy số 3 bình phương lên thành 9, rồi cộng với bình phương của 4 tức là 16 sẽ được 25 chính là bình phương của số 5. Vậy là:
32 + 42 = 52
Hình 28
Nhưng đồng thời con người thượng cổ cũng nhân thấy rằng nếu nhận a, b và c là những cạnh của một tam giác, thì ta vẫn có thể tạo thành những tam giác vuông có những cạnh a rất nhỏ, cạnh b rất lớn không cần phải cho a và b theo tỷ lệ 3 và 4. Phải hơn một ngàn năm sau, đến thời nhà toán học Hy Lạp là Pythagoras thì mới tìm ra được định lý là điều kiện cần và đủ cho một tam giác có những cạnh a, b và c là một tam giác vuông là ta có hệ thức
a2 + b2 = c2
Ðịnh lý này được coi là một trong những định lý đẹp nhất trong hình học. Tên của Pythagoras được lưu danh thiên cổ. Nhưng vẫn có những giả thuyết là định lý này đã được người Ai Cập và cả người Tầu biết trước thời Pythagoras hàng mấy trăm năm. Nhà toán học Hy Lạp sinh sống trong khoảng những năm 580 - 500 trước Công nguyên, và đã sang miền đất ở mũi Nam của nước Ý để dạy môn đồ và tạo ra một trường phái toán hình học.
Hình 29
Sau khi trường phái này phổ biến định lý nói trên, và điều này thật là hiếm có vì môn sinh khi nhập học đều được dặn là giữ kín nghệ thuật của trường phái, thì qua nhiều thời đại, hơn một ngàn năm trôi qua, đã có rất nhiều phép chứng minh định lý của Pythagoras. Kể sơ sơ ra thì cũng có tới gần một trăm bài giải, tuy rằng nhiều bài giải chỉ khác nhau có chút ít mà thôi. Lời giải theo Hình 30 mà nhóm phương Bắc đã chọn ra là lời giải khá đặc biệt. Thứ nhất, theo Hình 29, ý nghĩa hình học của định lý của Pythagoras là nếu có một hình tam giác vuông có cạnh là a, b và c thì tổng số diện tích những hình vuông vẽ trên những cạnh nhỏ sẽ bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền, tức là cạnh lớn nhất.
Hình 30
Ta đặt giả thuyết là các cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là a, b và c. Theo phép chứng minh trên Hình 30, thì hai hình vuông lớn vẽ song song là hai hình vuông bằng nhau vì đều có cạnh là (a+b). Trên mỗi hình ta thấy có 4 tam giác vuông bằng nhau, vì cùng có cạnh là a, b và c. Vì vậy những phần để trắng trên hai hình có diện tích bằng nhau.
Lối chứng minh rất đặc biệt này được các trại sinh trong hội trường rất tán thưởng vì theo trong sách học thì khi chứng minh định lý của Pythagoras, tuy là một định lý hình học thuần túy, mà các nhà giáo lại hay dựa chút ít lên môn đại số, là một môn khá buồn tẻ.
Trước khi nhường lời cho một bạn khác trình bầy thêm những tính chất đặc sắc của hình vuông, người bạn phụ trách tiết mục này đưa ra bài toán đố như sau:
Cho hai hình vuông với cạnh là a và b, tức là có diện tích a2 và b2. Làm sao cộng hai hình vuông này để thành một hình vuông mới với diện tích là c2.
Nếu chỉ cần vẽ ra hình vuông mới với cạnh là c thì không thành vấn đề vì ta có thể dùng định lý Pythagoras. Theo Hình 29, ta vẽ một góc vuông và trên đó lấy hai cạnh a và b. Nối thành hình tam giác sẽ có đường huyền độ dài là c, là cạnh của hình vuông có diện tích bằng tổng số diện tích hai hình vuông nhỏ. Ðiều tế nhị ở đây là bạn trẻ ở phương Bắc đưa ra hai tấm bìa hình vuông có cạnh là a và b và thách đố các trại sinh là làm cách nào dùng kéo để cắt hai hình vuông nhỏ này làm nhiều mảnh rồi ráp lại để thành một hình vuông lớn.
Tuy là một bài toán đố, nhưng để khỏi mất thì giờ người bạn trẻ đưa ra ngay hai lời giải, dùng hai phương pháp khác nhau.
Thứ nhất là phương pháp chồng hai hình vuông nhỏ lên nhau để cùng có chung một đỉnh và hai cạnh theo Hình 31 ở bên trái.
Hình 31
Theo lối này, hình vuông có cạnh là b lớn hơn nằm ở dưới có thể chia thành một hình vuông cạnh là (b-a) có vẽ gạch đen, và hai hình chữ nhật, là những hình AMND và BMIK. Hình chữ nhật AMND có thể chia bằng một đường chéo góc thành hai tam giác có hai cạnh góc vuông là a và b và như vậy đường huyền sẽ là c nghiệm đúng hệ thức của Pythagoras. Hình chữ nhật là BMIK nay cộng với hình vuông cạnh là a nằm ở trên sẽ được thành hình chữ nhật ABKH cũng có thể chia lại ra thành 2 hình tam giác vuông có cạnh là a, b và c. Những mảnh chia cắt này được tô lại ở phía bên phải của Hình 31. Nay sắp xếp lại ta sẽ được hình vuông có cạnh là c như trên Hình 32.
Hình 32
Thay vì chồng hai hình vuông lên nhau nay ta dùng phương pháp ghép, để một hình vuông đứng trên hình kia để có chung một đỉnh và một cạnh như Hình 33. Chịu khó nhận xét một chút ta sẽ tìm ra lối cắt hình và xếp lại thành hình vuông có cạnh c theo đường gạch nối ABCD.
Hình 33
Pháp thuật của Tôn Ngộ Không
Trong văn học cổ Trung Hoa có một truyện được mọi người ưa đọc là “Tây Du Ký”. Trong truyện có một con khỉ từ một trứng đá nẩy ra, được đặt tên là Tôn Ngộ Không, sau này tu luyện lâu năm nên được nhiều pháp thuật, có lần lên trời, một thời kỳ đại náo thiên cung. Vì vậy Tôn Ngộ Không còn được gọi là Tề Thiên Ðại Thánh nghĩa là vị thánh lớn dẹp được cả Trời. Sau này Tôn Ngộ Không được Phật Bà Quan Âm làm phép thu phục được và bắt phải đi theo một tăng nhân yếu đuối là Thầy Ðường Tam Tạng đi sang Tây trúc để xin kinh Phật đưa về Trung Quốc. Trong chuyến đi này, được gọi là Tây Du, Tôn Ngộ Không có công rất lớn, bảo vệ an toàn cho Ðường Tăng, cùng với hai hộ sĩ bạn là Trư Bát Giới và Sa Tăng.
Phép mầu nhiệm nhất của Tôn Ngộ Không là phép hóa thân. Lúc nào cần thì Tôn Ngộ Không lại rứt ra một nắm lông đọc thần chú thì mỗi sợi lông lại biến thành một Tôn Ngộ Không nữa và cùng tài giỏi như nhau. Có phép thiên biến vạn hóa như thế thì Trời cũng không địch nổi.
Trong tiết mục này, một trại sinh nhóm phương Bắc cũng đóng vai Tôn Ngộ Không để biến một hình vuông thành nhiều hình vuông khác bằng nhau. Một trong những ưu điểm của hình vuông là theo như các bạn ở phương Ðông đã trình bầy trước đây, là ta có thể xếp những hình vuông bằng nhau bên cạnh nhau để phủ kín mặt phẳng như ta vẫn dùng để lát sàn gạch hoa. Như vậy nếu lấy một tấm bảng vuông mà chia ra thành nhiều hình vuông khác thì thật không có gì khó khăn. Ðiều khó là làm sao chia thành một số hình đã định trước. Nếu chia một hình vuông làm 4 hình bằng nhau thì rất dễ. Hay chia làm 9 hình, hay 16 hình, hay nói chung thành n2 hình, với n là số nguyên, thì ta chỉ chia mỗi cạnh làm n phần bằng nhau rồi sau đó gạch ngang dọc như bàn cờ là được. Như vậy ta chỉ cần xét đến việc chia làm 2 hay làm 3 hay làm 5 hình xem sao ?
Hình 34
Ðể dễ dàng cho việc giải thích, tôi kể lại phép chia của phương Bắc bằng cách làm bài tính ngược lại. Trước hết, cho hai hình vuông bằng nhau. Tìm cách cắt và xếp lại để thành một hình vuông mới, dĩ nhiên là lớn gấp hai lần mỗi hình cho sẵn.
Theo như Hình 34 ta chỉ cần cắt đôi những hình vuông nhỏ theo đường chéo góc rồi xếp lại là thành. Giải bài này thì thật ra không cần đến pháp thuật của Tôn Ngộ Không, ta chỉ cần nghĩ chừng một phút là tìm ra. Nhưng nếu có ba hình vuông thì ta phải loay hoay xếp ra sao?
Hình 35
Bài toán này thật ra khó hơn bài toán trước gấp một trăm lần. Một người nếu giỏi toán vào bậc trung bình như phần đông chúng ta thì mất chừng hơn một giờ là tìm ra lời giải. Theo truyền thuyết, chưa được kiểm chứng lại, thì Tôn Ngộ Không đã phải niệm chú mất chừng nửa giờ mới tìm ra lời giải. Còn có một nghi vấn là theo sách để lại thì ta không được biết rõ ràng là giờ khắc của thần tiên so với giờ nguyên tử của thời đại này ngắn dài hơn ra sao ? Lời giải cũng có thể tìm ra dựa theo Hình 35.
Ta giữ nguyên vẹn một hình vuông, còn hai hình kia thì mỗi hình cắt làm hai theo đường chéo góc, chia thành 4 tam giác vuông cân. Xếp bốn tam giác này bao vây chung quanh hình vuông còn lại. Nếu nối bốn đỉnh A, B, C và D của những tam giác bao bọc thì sẽ được một hình vuông. Giờ chỉ cần cắt những mảnh tam giác thừa có gạch đen và quay mỗi tam giác một góc 180 độ là xếp vừa khít hình vuông lớn..
Nay ta lại tìm cách cắt và xếp 5 hình vuông nhỏ để thành một hình vuông lớn. Bài toán này được nhiều người chú ý đến và vì thế có nhiều phép giải rất đặc sắc. Bài toán đặc biệt là vì nếu a là cạnh của mỗi hình vuông nhỏ và c là cạnh của hình vuông lớn đã được xếp xong thì ta có c2 = 5 a2. Như thế tức là:
c/a = √ 5 = 2.236067978 ...
Nếu các bạn nhớ lại tỷ số vàng mà nhóm phương Nam vừa trình bầy trước đây mà họ cho là một tỷ số tuyệt diệu, thì tỷ số ấy là
Φ = (1/2) (1+ √ 5)
Ta lại thấy rằng phảng phất đâu đây có tỷ số vàng!
Phương pháp giản dị nhất để ghép 5 hình vuông lại làm thành một hình vuông lớn là trước hết xếp tất cả lại thành một hình chữ thập gọi là chữ thập Hy Lạp như theo Hình 36. Nối những điểm A, B, C và D lại với nhau ta sẽ được hình vuông lớn cạnh là c = a√5. Cắt những tam giác thừa có gạch đen rồi quay mỗi tam giác một góc 180 độ là sẽ xếp lại vừa khít thành hình vuông lớn.
Hình 36
Lời giải ở trên thật là giản dị nhưng phải cắt hình chữ thập Hy Lạp làm 5 miếng. Phải đến giữa thế kỷ 19 người ta mới tìm thấy lời giải chỉ cần cắt chữ thập thành 4 miếng mà thôi. Lời giải này được biểu diễn trên Hình 37. Ðặc biệt là theo lối này, thì chữ thập Hy Lạp, nay chắp thành hình vuông lại có hiện ra chữ thập ngoặc.
Hình 37
Sự biến ảo của pháp thuật của Tôn Ngộ Không không phải ở chỗ phân một hình vuông thành 2, thành 3, hay 4, 5 hình vuông nhỏ, hay làm ngược như đã chỉ dẫn ở trên là cắt và ghép 5 hình vuông thành một hình vuông lớn vân vân …, nhưng theo lời bạn đóng vai Tôn Ngộ Không thì nó lại còn huyền diệu hơn thế nữa là tạo ra nhiều hình mới, mà hình nào cũng do những hình vuông hợp thành. Chẳng hạn ta gọi hình chữ thập Hy Lạp là Ngũ Bảo vì hình này là do 5 hình vuông hợp lại. Nay ta đặt ra bài toán đố là làm cách nào cắt một hình vuông và xếp lại để thành hai Ngũ Bảo huynh đệ, nghĩa là một lớn một nhỏ. Lời giải thích của bài toán được chỉ dẫn theo Hình 38. Bạn đọc có thể dùng một tấm bìa để vẽ và cắt theo hình này. Nên lưu ý là mỗi cạnh đã được chia làm 5 phần đều nhau.
Hình 38
Một bài toán khó hơn là làm sao cắt một hình vuông và xếp lại để thành hai Ngũ Bảo song sinh, nghĩa là thật bằng nhau. Lời giải của bài toán này được chỉ dẫn trên Hình 39. Bạn đọc nên nhận xét rằng khi vẽ để chia hình cần thiết là chia đều mỗi cạnh làm 6 phần đều nhau. Sau đó vẽ hình Ngũ Bảo toàn vẹn bên trong bằng cách nối những điểm ở giữa với những điểm ở 1/6 cạnh là thành.
Hình 39
Sau khi lời giải này được công bố thì người ta lại cố gắng làm hay hơn, nghĩa là xếp thành Ngũ Bảo song sinh, thay vì cắt hình vuông làm 5 miếng, làm sao chỉ cắt thành 4 miếng cũng được việc. Lời giải trên Hình 40 là lời giải mới nhất cho bài toán này. Khi vẽ để chia hình, cạn bạn cần chia mỗi cạnh làm 3 phần đều nhau. Sau đó chia hình bằng cách nối những đỉnh của hình vuông với những điểm ở 1/3 cạnh là thành. Phép chia cắt này cũng lại tạo ra một hình chữ thập ngoặc. Rất có thể là lối chia này là lối chia độc nhất để ghép thành Ngũ Bảo song sinh bằng 4 miếng, bắt đầu từ hình vuông.
Hình 40
Sau khi Tôn Ngộ Không của phương Bắc đã biểu diễn những phương pháp cắt hình và chắp hình như đã chỉ dẫn ở trên, nghĩa là cách chia hình vuông làm nhiều hình vuông bằng nhau hay làm ngược lại là cắt rồi chắp nhiều hình vuông nhỏ để làm thành một hình vuông lớn, các trại sinh đều thấy rằng hình vuông quả là một hình có nhiều công dụng ích lợi, như dùng để đo diện tích từ mảnh đất nhỏ đến một nước rộng lớn theo mét vuông, cây số vuông hay dặm vuông, hay dùng hình thể để làm những viên gạch hoa lát sàn. Thái độ của mọi người đối với vẻ đẹp của hình vuông như đã thay đổi 180 độ nghĩa là được xoay hai góc vuông, vì mới đầu ai cũng tưởng hình vuông là một hình thể thật dản dị vì không bao giờ biến dạng. Tuy vậy nhưng khi thấy Tôn Ngộ Không chỉ biểu diễn tới việc chắp 5 hình vuông mà thôi rồi định trở về ngôi vị ở phương Bắc, có một bạn giơ tay hỏi là pháp thuật của Tôn Ngộ Không chia được tối đa là bao nhiêu hình ? Câu trả lời rất giản dị là chia ra hay chắp lại thì dùng bao nhiêu hình vuông cũng được. Cho dễ hiểu ta lại nói chuyện chắp nhiều hình vuông bằng nhau thành một hình vuông lớn. Theo Tôn Ngộ Không thì phép biến hóa có thiên hình vạn trạng, có thể dùng nhiều lối khác nhau. Chẳng hạn, ta đã biết phương pháp cắt và chắp với 2, 3, 4 và 5 hình, đặc biệt với bốn hình thì không cần phải cắt chỉ xếp lại khít với nhau là thành. Giờ nếu có 6 hình vuông thì chia thành hai nhóm, mỗi nhóm 3 hình chắp lại thành một hình vuông. Sau đó có 2 hình vuông ta lại chắp thành một hình vuông lớn. Nếu có 8 hình thì đợt đầu không cần phải cắt, chỉ chắp lại thành 2 hình vuông. Sau đó hợp 2 hình vuông này thành một hình vuông lớn. Nếu có 9 hình hay nói chung khi n2 hình thì chỉ việc chắp lại như khi lát gạch mà thôi. Khi có 10 hình vuông nhỏ thì coi trên Hình 40, ta có Ngũ Bảo song sinh. Nay có thể dễ dàng chắp lại thành một hình vuông lớn. Có những trường hợp lẻ, chẳng hạn như trường hợp 7 hình vuông mà ở trên đây bỏ quên chưa nói tới, thật ra cũng không khó khăn gì. Này nhé, xếp 4 hình để thành một hình vuông. Sau đó dùng phương pháp đã tả theo Hình 35 để chắp 3 hình còn lại thành một hình vuông thứ hai. Giờ chỉ khác là hai hình vuông có được lại không bằng nhau. Nhưng theo Hình 33 ta đã biết phương pháp để cắt và chắp hai hình vuông to nhỏ bất kỳ thành một hình vuông lớn từ lâu rồi còn gì !
Sự trình diễn đã kể ở trên, thực ra mới chỉ là phần đầu của màn thuyết trình của phương Bắc. Muốn chiếm được thượng phong đối với những nhóm Ðông, Tây và Nam họ cần phải tỏ ra rằng hình vuông có thể bao gồm cả ba hình tam giác đều, hình lục lăng đều và hình ngũ giác đều. Nói theo pháp thuật của phương Bắc là bài toán đặt ra là
“Làm sao cắt những hình này thành nhiều mảnh rồi ráp lại để thành một hình vuông rất chính xác không thừa thiếu chút nào”
Người trình bầy vấn đề này đã được giới thiệu là pháp thuật lại còn cao hơn Tôn Hành Giả tức là Tề Thiên Ðại Thánh. Ðể mở đầu như để áp đảo quần hào, người bạn trẻ đưa ra một cách táo bạo một định lý rất tổng quát sau đây:
“Một hình nhiều góc bất kỳ nào cũng có thể phân chia thành một số hữu hạn những hình nhỏ và xếp lại thành một hình vuông có cùng một diện tích”
Bạn đọc có thể nghĩ rằng trong phát biểu định lý trên, năm chữ sau cùng “có cùng một diện tích” là rất thừa. Những chữ này được thêm vào cốt để chỉ rằng hình vuông được tạo thành không có khoảng trống ở bên trong.
Hình 41
Trong toán học, muốn chứng minh một định lý phức tạp, người ta thường tìm cách thu gọn bài toán về một trường hợp giản dị đã được giải quyết rồi. Cho định lý trên, ta đi từng giai đoạn như sau.
Thứ nhất là một hình có n góc bao giờ cũng có thể chia thành (n-2) hình tam giác. Ðiều này rất dễ hiểu, như trên Hình 41 ta đã chia một hình 7 góc bất kỳ thành 5 hình tam giác. Lấy bất kỳ một đỉnh nào rồi từ đó nối những đỉnh còn lại là thành.
Giai đoạn thứ hai là ta chứng minh rằng hình tam giác nào cũng có thể cắt ra, nhiều nhất thành 3 miếng, rồi chắp lại thành hình chữ nhật. Nếu là tam giác bất kỳ, tức là cạnh không đều, thì ta làm như trên Hình 27, cần phải 2 nhát cắt chia làm 3 miếng rồi xếp lại. Nếu là tam giác vuông chỉ cần một nhát cắt, chia làm 2 miếng là có thể xếp lại thành một hình chữ nhật.
Giai đoạn thứ ba là ta chứng minh rằng hình chữ nhật nào cũng có thể cắt ra thành nhiều miếng rồi xếp lại thành một hình vuông. Nếu chứng minh được tính chất này tức là ta đã giải quyết xong bài toán vì như ở tiết mục trước đây, Tôn Ngộ Không của phương Bắc đã chứng minh rằng với hai hình vuông to nhỏ bất kỳ nào thì ta cũng có thể cắt và sắp xếp lại thành một hình vuông lớn. Vì vậy dù trên tay có tới (n-2) hình vuông to nhỏ bất kỳ, ta vẫn có thể cắt và xếp dần dần, mỗi lần dùng hai hình vẽ và rồi sẽ hợp thành một hình vuông độc nhất. Dù có phải chia thành nhiều mảnh vụn chăng nữa thì số miếng cắt cũng hữu hạn chứ không phải là một số vô cực.
Như vậy bài toán rất tổng quát đã phát biểu ở trên nay thu về cách chia cắt và xếp một hình chữ nhật lại thành một hình vuông.
Hình 42
Ta gọi cạnh a là cạnh nhỏ và cạnh b là cạnh lớn của hình chữ nhật. Nếu 2a lớn hơn b, viết ký hiệu là 2a > b thì bài toán được giải quyết như trên Hình 42. Hình chữ nhật được vẽ nét đậm, được chia làm 3 miếng A, B và C rồi xếp lại theo hình vuông vẽ nét chấm. Nếu gọi c là cạnh của hình vuông thì bí quyết vẽ hình là lấy OM = c và lấy góc ở điểm I là góc vuông và điểm I này là điểm nằm ở trên đoạn OM. Cạnh c là trung bình nhân của hai cạnh a và b. Như thế c2 = ab. Trong hình học có nhiều phương pháp dùng thước kẻ thẳng và compa để vẽ đoạn c khi biết a và b.
Trường hợp mà cạnh b lại lớn hơn hai lần cạnh a, viết ký hiệu là b > 2a, nghĩa là hình chữ nhật dài ngoẵng thì bài giải hơi phức tạp hơn một chút như trên Hình 43. Ta vẫn có đoạn OM = c và góc ở điểm I là góc vuông nhưng điểm này lại nằm ngoài đoạn OM. Ta phải chia hình chữ nhật vẽ nét đậm làm 5 miếng A, B, C, D và E rồi xếp lại theo hình vuông vẽ nét chấm.
Hình 43
Dĩ nhiên là một khi đã có định lý thật tổng quát này cho bất kỳ một hình nhiều góc nào cũng có thể cắt ra và sắp xếp lại thành một hình vuông thì tất nhiên là với những hình tam giác đều, hình lục lăng và ngũ giác đều ta cũng làm được vì những hình đó chỉ là những hình đặc biệt mà thôi. Tuy vậy ai cũng muốn giải bài toán bằng một phương pháp tối ưu và trong trường hợp này là làm sao có thể chia thành ít miếng nhất mà cũng xếp được thành hình vuông.
Trước khi cùng với thuyết trình viên phương Bắc đang đóng vai sư phụ của Tôn Ngộ Không này đi chinh phục những hình tam giác, lục lăng và ngũ giác đều, ta có chút nhận xét là pháp thuật của vị này quả có cao cường hơn là tài của Tề Thiên Ðại Thánh. Trong toán học, một định lý được coi là “mạnh” hơn một định lý đã được phát biểu trước, khi mà định lý này có giá trị tổng quát hơn, bao gồm cả định lý tìm ra trước. Nay nếu các bạn nhớ lại thì khi có người hỏi Tôn Ngộ Không làm cách nào để chia và chắp lại n hình vuông bằng nhau thành một hình vuông độc nhất khi n không phải là một số chính phương nghĩa là không phải là 4, 9, 16, 25 vân vân, thì vị Tề Thiên Ðại Thánh đã dùng cách cộng dần dần, từng hai hình mỗi lần để đi đến kết quả. Lời giải sẽ rất hiển nhiên và dễ dàng nếu ta dùng định lý mới của sư phụ này. Cho một số hình vuông bằng nhau, ta chỉ việc xếp nối tiếp nhau là thành một hình chữ nhật rất dài. Nếu mỗi hình vuông có cạnh là a, thì hình chữ nhật sẽ có cạnh nhỏ là a và cạnh lớn là b = n a. Khi số n lớn hơn 2, ta sẽ có trường hợp như theo Hình 43, và có thể dễ dàng cắt và xếp lại thành hình vuông. Tuy đã có lời giải đáp tổng quát nhưng trò chia hình và chắp hình vẫn còn nhiều vẻ thú vị. Chẳng hạn ta có thể đặt ra bài toán là:
“Cho n hình vuông bằng nhau. Làm sao dùng một số chia mảnh tối thiểu rồi ghép lại để thành một hình vuông lớn có diện tích tương đương”
Về bài toán này, những người thợ lát gạch hoa có nhiều kinh nghiệm thường dùng thực nghiệm để giải quyết, cốt sao tránh để không phải cắt thành nhiều mảnh vụn mà vẫn phủ kính thành được nhiều hình vuông lớn.
Bạn trẻ phương Bắc đóng vai trưởng bối của Tôn Ngộ Không sau đó đã đến thăm nhóm Ðông phương để nghiên cứu hình tam giác đều của nhóm này. Vị trưởng lão này sau khi nghiêng đầu ngắm tấm bảng vẽ hình tam giác đều hồi lâu đã phán quyết rằng: “Trước đây đã có nhiều phương pháp cắt tam giác thành 5 miếng rồi chắp lại thành hình vuông, nhưng mới đây lão đã có thần báo mộng chỉ dẫn cho phép chia làm 4 miếng mà thôi.” Nói xong lão dùng gậy vạch xuống đất lời giải như Hình 44 rồi cáo từ để đằng vân sang phương Tây.
Hình 44
Phương pháp gạch bằng gậy của lão thật là thần sầu, như đã có nhiều năm kinh nghiệm dạy học về môn này. Những góc 600 hay góc vuông vạch ra, những cạnh tam giác thật đều đặn. Mấy bạn ở phương Ðông đo kích thước để vẽ lại trên một tấm bìa cứng rồi cắt ra và chắp lại thấy đúng phong phóc là một hình vuông.
Khi vị trưởng bối nhóm Bắc phương hạ chân xuống miền Tây thì ở đó đã để sẵn một tấm bìa hình lục lăng đều. Không ngần ngại phút nào lão bối dùng thuyền trượng gạch ngang một nhát chia hình này làm 2 hình thang cân như trên hình 45. Chỉ cần một nhát gạch như thế này là đủ cho nhóm Tây tìm ra chân lý vì hình thang cân dễ biến ra hình chữ nhật và biến hình chữ nhật ra hình vuông đối với lão bối là trò đùa thường nhật.
Hình 45
Thực ra theo như hình bên phải của Hình 45 ta chỉ cần cắt hình lục lăng làm 3 miếng là chắp lại thành một hình chữ nhật. Từ hình chữ nhật này dùng phương pháp theo Hình 42 thì có thể cắt thành 6 miếng để chắp thành hình vuông.
Khi các bạn phương Tây định dùng kéo để cắt và làm theo phương pháp này thì vị lão bối lại xua tay ngăn lại nói đó là lối cổ xưa cách đây hơn một trăm năm. Phương pháp mới nhất chỉ cần chỉ cần chia làm 5 mảnh mà thôi. Lão vung tay áo và vạch tấm bìa theo Hình 46, chia hình thang ở trên làm 2 miếng và hình thang ở dưới làm 3 miếng. Lão đợi cho các bạn trẻ cắt xong rồi lại đưa tay xóa 5 miếng bìa và rời gót đi về phía Nam để nhóm Tây loay hoay xếp lại những mảnh cắt sao cho thành một hình vuông.
Hình 46
Theo thứ tự, từ dễ cho tới khó thì hình tam giác đều phép chia tối thiểu là 4 miếng, rồi đến 5 miếng cho hình lục lăng đều. Vì vậy ta thấy gần như chắc chắn là lão bối phương Bắc sẽ phải chia tới 6 mảnh cho hình ngũ giác đều của phương Nam rồi mới chắp thành một hình vuông. Phương pháp phân chia của lão hơi rắc rối nhưng để bù lại, lão bối để lại cho nhóm phương Nam đồ bản rất tường tận như theo Hình 47.
Hình 47
Ðể phân biệt, chu vi của hình ngũ giác được tô đậm sau khi cắt làm 6 mảnh, xếp lại theo hình vuông có chu vi là đường gạch quãng.
Sau phần thuyết trình có phụ thêm diễn xuất này của nhóm Bắc phương thì các trại sinh học thêm được một điều hay là trên đời thật có lắm nhân tài. Mỗi nhóm, mỗi phương, hay nói chung mỗi dân tộc nào cũng có những nét hay vẻ đẹp của họ. Phương ngôn ta có câu: “Ði một ngày đàng, học được một sàng khôn” là như vậy. Mới buổi sáng ngày hôm đó, trước khi ra quân, bốn nhóm Ðông, Tây, Nam và Bắc, nhóm nào cũng đã nghiên cứu được một hình, tưởng như rằng trên thế gian chỉ có hình của nhóm mình là ưu việt hơn cả. Nhưng nay thì toàn thể trại sinh đều thấy rằng nhóm nào cũng đã học hỏi thêm được những điều hay lạ của nhóm khác. Trước khi về phòng để sửa soạn ăn tối, mọi người được thông báo rằng ở buổi đốt lửa trại ban đêm sẽ còn một nhóm ở Trung ương sẽ thuyết trình về những nét hay và đẹp của hình tròn. Một bạn chợt nhớ ra rằng trong Hình học có ba bài toán nan giải và một trong những bài toán ấy là không có phương pháp nào để vẽ bằng thước kẻ thẳng và compa một hình vuông có diện tích tương đương với diện tích một hình tròn cho sẵn. Nếu như vậy thì lối cắt hình rồi xếp lại thành hình vuông của nhóm phương Bắc không phải là vô địch. Theo phương pháp này thì dù Tôn Ngộ Không, hay mời thêm cả vị lão bối sư phụ ra yểm trợ chăng nữa thì cũng chỉ cắt xếp được các hình nhiều góc mà thôi. Nếu nay đưa một tấm bìa hình tròn ra thì thật không thể nào cắt bìa rồi xếp lại thành một hình vuông có diện tích tương đương được.
Hình 48
Một câu hỏi chót này được đặt ra và để trả lời nhóm phương Bắc đưa ra Hình 48. Theo lời giải thích của họ thì vị tổ sư của môn phái Bắc phương cũng đã suy nghĩ về điều này. Một lần vị này lên núi hái thuốc và gặp một tiên ông ngồi uống rượu một mình có đem điều này ra hỏi thì được chỉ dẫn là vòng tròn bẩm sinh ra đã đứng riêng một ngôi vị. Vì vậy không có phép nào để đổi kích thước chu vi vòng tròn ra đường thẳng được. Tuy vậy đôi khi cũng có ngoại lệ. Chẳng hạn hình bầu nậm này hoàn toàn do hình tròn vẽ ra mà có thể cắt và chắp lại thành hình vuông được. Nói xong tiên ông biến lên trời nhưng hình bầu nậm vẫn còn in lại trên đá.Vị tổ sư của Bắc phái đã lấy khăn lụa tẩm rượu để in hình bầu nậm như ở trên. Nhưng bí quyết hình tròn thành hình vuông xưa nay chỉ truyền thụ trong môn phái mà thôi. Vào dịp này, với tình đoàn kết Bắc Trung Nam một nhà họ đã trao lại bí quyết cho Trung ương phụ trách hình tròn sẽ công bố đêm nay.
Hình Tròn Và Tính Chất Siêu Việt của Số Pi
Khung cảnh bữa ăn tối ở trại thật là tưng bừng náo nhiệt. Mọi vẻ tranh đua ban ngày đã biến đi một cách diệu kỳ để thành một bầu không khí tương thân tương ái. Các trại sinh đã ngồi vào bàn ăn một cách lẫn lộn, không còn chia phương vị Ðông, Tây, Nam, và Bắc như trước nữa. Những màn trình diễn đặc sắc ban ngày được nhắc lại giữa những trận cười vang, hả hê, những câu thơ đã đọc, những bài toán đố đã được đề ra cũng được mang ra phân tách lại. Trước bữa ăn, ban tổ chức đã tuyên bố là không có sự thay bậc, đổi ngôi, ai hơn ai kém, sau buổi Hoa Sơn hội luận ban ngày vì mỗi hình được lựa chọn, hình nào cũng có vẻ đặc sắc riêng, có những tính chất kỳ lạ riêng của mình. Vả chăng định mệnh đã an bài, phương Ðông chọn hình tam giác đều, phương Tây lấy hình lục lăng, số cạnh đem cộng lại , 3 cộng với 6 thành 9, như thế là ưu việt. Ngược lại phương Nam đã chọn hình ngũ giác và phương Bắc chọn hình vuông, số cạnh cộng lại đem 5 cộng với 4 cũng thành 9, là con số lý tưởng. Phương vị trung ương, để dành cho hình tròn, sẽ được đem trình diễn ở buổi lửa trại đêm nay, chắc cũng không kém phần ngoạn mục. Ðể tuyên bố kết quả, một trại sinh có hoa tay đã thảo mấy hàng trên một tấm bích chương dựng lên trong phòng ăn giữa tiếng hoan hô đồng ý của mọi người. Những phương vị đã định ra, từ nay sẽ vĩnh viễn là “Ðông Tam, Tây Lục, Nam Ngũ, Bắc Tứ, Trung Tuyệt Luân”. Luân là bánh xe vòng tròn, có thật tuyệt mỹ hay không, đêm nay mọi người sẽ biết.
Sự Tích Bánh Dầy Bánh Chưng
Ðêm nay có lửa trại hồng, trên trời lại có trăng rằm tròn đẹp, trông thật mát lành. Mọi người ngồi trên khoảng hội trường thật rộng chung quanh đống lửa, không ai ngồi thật gần, mà cũng không ngồi xa quá sợ nhìn và nghe không rõ và, vô hình chung, các trại sinh đã ngồi quay thành hình tròn đúng với định nghĩa hình học là
“Hình tròn là quỹ tích những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O gọi là tâm điểm. Khoảng cách R được gọi là bán kính của hình tròn.”
Tuy là một buổi hội thảo về toán, nhưng vì đã có truyền thống văn hóa trải hơn bốn ngàn năm của giòng giống Lạc Hồng nên màn trình diễn giáo đầu của Trung ương cũng thiên về Văn và Sử học. Theo lời trình bày thì hình tròn đi cùng hình vuông vì từ bốn ngàn năm nay, đối với dân Bách Việt, hai chữ vuông và tròn bao giờ cũng đi đôi với nhau để chỉ những gì thật chính trực và tuyệt mỹ, hay có giá trị thiêng liêng siêu việt. Ta thường nói: “Lo sao cho được mọi điều vuông tròn thì lo” có nghĩa là phải thu xếp sao cho được mọi bề toàn vẹn. Trích dẫn trong truyện Kiều, khi Kim Trọng và Thúy Kiều trao lời, thử ướm lòng nhau thì nàng Kiều đã đắn đo lo sợ không biết có được duyên lành trong tương lai hay không. Kiều đã nói:
“Nàng rằng: trộm liếc dung quang
Chẳng sâu ngọc bội cũng phường kim môn
Nghĩ mình phận mỏng cánh chuồn
Khuôn xanh có biết vuông tròn mà hay”
Trong sử cận đại, một câu chuyện khác được truyền lại là mấy câu tập Kiều của nhà cách mạng Phan Bội Châu, người đã khởi xướng ra phong trào Ðông Du. Cuộc đời của cụ Phan là gương sáng ngàn thu. Thi đậu giải nguyên năm Canh Tý (1900) mà cụ không màng chức vị quan trường, suốt đời bôn ba, viết lời kêu gọi, chiêu mộ hào kiệt, gây quỹ đưa người đi du học, mua quân giới để lập lực lượng cách mạng đuổi thực dân Pháp. Năm 1925, cụ Phan Bội Châu bị Pháp bắt ở Thượng Hải, đưa về bí mật giam ở Hỏa Lò, Hà Nội và sau thực dân đưa cụ ra tòa án đề hình xử bắt tù chung thân.
Sau này trước sự phản kháng mạnh mẽ của các từng lớp sĩ dân từ Nam chí Bắc, Toàn quyền Ðông Pháp là Alexandre Varenne phải ký giấy ân xá cho cụ Phan Bội Châu và đưa về giam lỏng ở Huế. Cụ sống cho tới lúc mãn đời, ngày 29 tháng 10 năm 1940 ở một ngôi nhà gianh dưới chân núi Ngự Bình. Ở nơi đây, có một lần một bạn đồng chí đến hỏi cụ là sau này nếu mưu đại sự thì làm sao để thành công thì cụ Phan đọc lại 4 câu trong truyện Kiều ngụ ý nhắc nhở rằng trong công việc phải hết sức thận trọng, suy tính mọi đường để được chu toàn.
“Sinh rằng: từ thuở tương tri,
Tấm riêng, riêng những nặng vì nước non.
Trăm năm tính cuộc vuông tròn,
Phải dò cho đến ngọn nguồn, lạch sông”.
Mấy câu này là lời Thúc Sinh nói với Thúy Kiều khi ngỏ ý cưới nàng làm vợ. Ðấy là văn chương bác học. Trong ca dao bình dân cũng có những câu như
“Cây xanh thì lá cũng xanh
Cha mẹ hiền lành để đức cho con.
Ba vuông sánh với bảy tròn,
Ðời cha vinh hiển, đời con sang giầu.
Nói đến vuông và tròn thì ta cũng phải theo một thứ bậc. Khi một người đàn bà sinh nở thì hay được chúc lành cho được mẹ tròn con vuông. Ðó là lời cầu chúc khỏe mạnh, an lành nhưng cũng phải theo một thứ tự là người mẹ là bậc trên, phải đi với chữ tròn. Nhưng phân tích một cách sâu xa hơn thì phải trở lại bốn ngàn năm trước đây, đời tổ tiên chúng ta, thời vua Hùng Vương thứ sáu, sau khi phá xong giặc Ân, vua muốn chọn một người con để sau này kế vị nên mới hội hai mươi vị lạc hầu lại mà truyền rằng: “Sắp đến ngày giỗ Tổ, nếu ai tìm được đồ ăn ngon lành và có ý nghĩa thì ta sẽ truyền ngôi cho.” Các vị lạc hầu đua nhau lên rừng, xuống bể, kiếm sơn hào hải vị, những đồ trân quý để đem về dâng hiến vua cha. Riêng người con thứ mười tám, tên chữ là Tiết Liêu, vì mẹ mất sớm không người chỉ dẫn, thôn ấp lại nhỏ nên không kiếm được thức ngon vật lạ. Chàng là người hiền hậu và hiếu thảo nên lại càng lo lắng không biết làm sao để làm vui lòng cha già. Một đêm, Tiết Liêu bỗng nằm mộng thấy thần đến bảo: “Trong trời đất, không vật gì quý bằng gạo là thức ăn để nuôi sống người. Nên lấy gạo nếp làm bánh hình tròn để tượng trưng hình Trời. Cũng lại lấy gạo này làm theo hình vuông để tượng hình Ðất, ngoài bọc lá chuối xanh, đặt nhân trong ruột để tượng hình Cha Mẹ sinh thành.”
Ðến ngày giỗ Tổ, các lạc hầu mang tới mọi thức sơn hào hải vị, nhưng vua Hùng thấy đồ dâng hiến của Tiết Liêu lại khác lạ nên hỏi nguyên do. Tiết Liêu thành thực giãi bầy là có thần mộng chỉ cho, chỉ là gạo nếp giã xôi nắn lại để thành bánh tròn gọi là bánh dầy để tượng hình Trời, và gạo nếp tốt bọc nhân đỗ xanh gói thành hình vuông rồi chưng cho chín gọi là bánh chưng để tượng hình Ðất, lấy chính tâm, toàn mỹ để tỏ lòng kính mến cha mẹ. Vua ăn thấy ngon, lại khen là hiếu tử và truyền ngôi cho Tiết Liêu. Từ đời Hùng Vương này, ta có tục lệ vào ngày Tết Nguyên Ðán làm bánh dầy bánh chưng để cúng Tổ tiên và Trời Ðất. Từ Ðất rồi tới Trời, và theo đó từ vuông rồi tới tròn, đó là thứ bậc của hai hình.
Hình Tròn và các Hình Nhiều Góc Ðều
Sau phần giáo đầu văn và sử học là tới phần trình bầy toán học về hình tròn. Cũng như các bạn ở Bắc phương đã dùng hình vuông để chinh phục các hình khác, hay nói cho đúng hơn, trong tình thân hữu giữa các trại sinh và trong tinh thần toán học, phương Bắc đã chứng minh rằng hình nhiều góc nào cũng có thể cải biến được thành hình vuông, một bạn trẻ ở nhóm Trung Ương đã ra hội trường, tay cầm bảng vẽ để chứng tỏ rằng hình tròn là hình bao bọc tất cả các hình nhiều góc đều, tất nhiên trong đó có các hình tam, tứ, ngũ và lục giác của các phương Ðông, Bắc, Nam và Tây. Trước hết dùng hình tròn ta có thể vẽ một cách dễ dàng những hình lục lăng đều và tam giác đều theo như Hình 49.
Muốn thế dùng compa với tâm điểm O, ta vẽ hình tròn bán kính R. Ðiều đặc biệt giữa hình tròn và hình lục lăng đều là nếu ta vẽ một hình lục lăng đều có các đỉnh nằm trên hình tròn thì các cạnh của hình lục lăng đều bằng bán kính của hình tròn. Tự đó ta suy ra phép vẽ hình lục lăng đều, gọi là hình nội tiếp trong vòng tròn. Còn hình tam giác đều thì ta đã biết cứ nối những đỉnh không liên tiếp của hình lục lăng đều là ta sẽ có hình tam giác đều.
Hình 49
Giờ ta nói đến hình vuông và góc vuông. Một tính chất đặc sắc của hình tròn là một góc nào chứa trong nửa hình tròn cũng là một góc vuông.
Theo Hình 50, vẽ một hình tròn rồi kẻ một đường kính AB, tức là một đường thẳng chạy qua tâm điểm O. Ðường kính này tất nhiên chia vòng tròn làm hai nửa. Sau đó lấy bất kỳ một điểm M nào trên nửa hình tròn thì góc ở M của tam giác ABM cũng là góc vuông. Ðặc biệt khi điểm M nằm ở trên đường trung trực của đoạn AB nghĩa là khi ở điểm C thì hai cạnh CA và CB bằng nhau và tam giác ABC là tam giác vuông cân. Nếu lấy điểm D là điểm xuyên tâm đối của điểm C nghĩa là lấy CD là đường kính thứ hai thì tứ giác ADBC là một hình vuông. Tới đây bạn đọc có thể nghĩ rằng ta có thể phát biểu một định lý hình học là:
“Hình tròn là quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng từ đó ta nhìn thấy một đoạn AB dưới một góc vuông.
Hình 50
Thật vậy, một khi đã cho đoạn AB, nếu ta tìm cách đánh dấu tất cả những điểm M từ đó ta nhìn AC dưới một góc vuông, nghĩa là sao cho tam giác ABM là tam giác vuông ở đỉnh M thì tất cả các điểm M, gọi là quỹ tích của điểm M, sẽ ở trên vòng tròn đường kính AB. Nhưng ta lại có thể làm hay hơn thế nữa bằng cách một khi cho đoạn AB ta không cần lấy góc ở M là một góc vuông mà lấy một góc bất kỳ nào gọi là góc α . Sau đó tìm qũy tích tất cả những điểm M trong mặt phẳng mà từ đó ta nhìn thấy đoạn AB dưới cùng một góc α bằng nhau, thì những điểm M này sẽ cùng ở trên một cung chạy qua A và B của một vòng tròn. Nếu góc alpha nhỏ hơn một góc vuông thì ta có một cung lớn như ở trên hình. Muốn có phần cung còn lại của hình tròn thì lấy góc β bằng góc bù của góc α , nghĩa là β = 1800 – α , rồi vẽ quỹ tích của những điểm N từ đó ta nhìn đoạn AB dưới góc β . Dĩ nhiên là khi α là góc vuông nghĩa là α và β bằng nhau thì quỹ tích là cả vòng tròn.
Hình 51
Cũng như trước đây khi nhóm phương Bắc đi tìm cách cắt và xếp hình ngũ giác đều của phương Nam, đã gặp phải đôi chút khó khăn, nhóm Trung Ương cũng biểu diễn cách dùng hình tròn để chia thành ngũ giác đều sau khi đã thu phục các hình khác. Hình vẽ ngũ giác đều theo phương pháp được chỉ dẫn theo hình 52.
Trước hết vẽ vòng tròn như thường lệ rồi lấy một đường kính MN rồi vẽ bán kính OA thẳng góc với MN. Lấy I là trung điểm của ON. Lấy compa với I làm tâm bán kính IA vẽ điểm J trên OM để cho IJ = IA. Ðoạn AJ sẽ bằng cạnh của hình ngũ giác đều nội tiếp. Như thế có nghĩa là muốn vẽ hình ngũ giác đều thì bắt đầu từ điểm A vẽ liên tiếp những đoạn AB, BC vv, dùng compa với bán kính là AJ.
Hình 52
Sau khi đã vẽ được tất cả những hình nhiều góc đều căn bản, gồm 3,4,5 và 6 cạnh nội tiếp ở trong một hình tròn, người bạn trẻ ở Trung Ương đang thuyết trình mới đưa ra những công thức liên lạc giữa những cạnh, gọi là a, của hình nhiều góc và bán kính R của hình tròn theo như trên Hình 53.
Hình 53
Khi những số góc tăng dần lên thì những cạnh sẽ nhỏ dần đi, so với đường bán kính của vòng tròn. Ðặc biệt là hệ thức liên lạc giữa cạnh hình ngũ giác và bán kính của hình tròn ngoại tiếp phụ thuộc vào số vàng Φ đã nói trước đây.
Sự việc là độ dài cạnh hình lục lăng đều nội tiếp bằng bán kính của hình tròn rất dễ hiểu vì nếu ta chia toàn thể góc ở tâm điểm O, gồm có 3600 làm 6 phần đều nhau ta sẽ có những tam giác cân có góc ở đỉnh là 600. Mặt khác, vì tổng số những góc của một tam giác là 1800 nên hai góc ở chân mỗi góc cũng bằng 600 tức là ta có những hình tam giác đều, mỗi cạnh đều bằng bán kính R. Nếu ta nhớ lại định nghĩa của tam giác vàng của phương Nam là tam giác cân có góc ở đỉnh là 360 là ta có thể xuất thần nẩy ra ý kiến là thay vì chia góc ở tâm làm 6 để có được hình lục lăng đều, ta chia góc làm 10 phần bằng nhau ta sẽ có một hình thập giác đều, mỗi cạnh làm với tâm điểm O thành một tam giác vàng vì là tam giác có góc ở đỉnh 36 độ. Theo như Hình 54, tỷ số của bán kính R chia cho cạnh a là số vàng Φ.
R/a = Φ , d/R = Φ
Từ hình 10 cạnh, nếu ta vẽ một hình sao 10 cạnh, mỗi cạnh gọi là d, thì tỷ số d/R cũng bằng số vàng Φ . Dĩ nhiên là ta có thể dùng phép chia tỷ số vàng đã được nhóm phương Nam trình bầy để vẽ một hình thập giác đều nội tiếp trong một vòng tròn bán kính R cho sẵn, và sau đó từ hình thập giác đều vẽ ra hình ngũ giác đều. Cho đến nay người ta không biết chắc chắn là trường phái Pythagoras nghĩ ra phương pháp vẽ hình ngũ giác đều nội tiếp trước hay họ đã tìm ra phương pháp vẽ hình thập giác đều trước.
Hình 54
Tính Chất Siêu Việt Của Số Pi
Ðể bên đống lửa trại ở giữa hội trường là một gốc cây lớn. Một bạn được cử ra để biểu diễn trò quấn giây như sau.
Hình 55
Một cuộn thừng được uốn vòng quanh thân cây, ngay ở chỗ được cưa phẳng. Sau đó nếu gấp đoạn thừng làm ba thì khi đặt trên mặt tròn, đoạn giây gấp dài sấp xỉ hơn đường kính thân cây một chút. Cũng như nhóm phương Bắc đã dùng trò quăng giây để biểu diễn phép đạc điền của người Ai Cập, nhóm Trung ương đã phô diễn rằng người cổ xưa đã biết được rằng chu vi của một thân cây gọi là c, dài vào khoảng 3 lần đường kính d của cây đó. Ở Việt Nam những tiều phu vào rừng đốn gỗ đã được chỉ dẫn luật để tính là “quần bát, phát tam, tòng ngũ, phân nhị” nghĩa là quấn giây vòng thân cây, chia làm tám phần, bỏ đi ba phần, chỉ lấy năm mà thôi, rồi sau đó chia làm đôi sẽ được đường kính. Tính rành rẽ ra thì nghĩa là đường kính bằng 5/16 chu vi. Viết thành hệ thức ta có bằng cách lấy số đảo lại, tức là:
c = 3,20 d
Thời bây giờ ta đã biết tỷ số c/d là một số gọi là số Pi, với ký hiệu Hy Lạp là π với trị số liên miên bất tận như sau:
Hình 56
Từ đời thượng cổ, khi vòng tay ôm hay lấy giây chằng quanh một thân cây, hay đi săn muông thú vòng quanh một hồ nước hình tròn, loài người đã biết rằng giữa chu vi hình tròn và đường kính nằm ngang có một tỷ số ràng buộc bất di, bất dịch. Tính một cách thô sơ, người thời cổ cho rằng chu vi dài gấp ba lần đường kính. Ngay ở trong Thánh Kinh cũng có hai đoạn mô tả sự vật như vậy. Ở những dân tộc văn minh, như với những người Ai Cập thì ở hai ngàn năm trước công nguyên họ đã biết con số này một cách khá chính xác. Chúng ta ai cũng biết rằng muốn tính một diện tích S của một hình tròn có bán kính R thì ta dùng công thức
S = π R2
Muốn tính chu vi c của vòng tròn thì ta tính là:
c = 2 π R
Con số Pi nếu càng biết được một cách chính xác thì càng tốt. Ở trường học, các em học sinh được dạy là dùng trị số ngắn gọn là π = 3,1416. Theo người Ai cập cách đây 4 ngàn năm thì muốn tính diện tích của một thửa ruộng hình tròn có bề ngang (tức là đường kính) là d thì chia bề ngang này làm 9 phần, bỏ đi một phần và lấy 8 phần. Ðó là cạnh của một hình vuông có diện tích tương đương với diện tích hình tròn này. Viết thành công thức và nếu gọi bán kính là R thì ta co d = 2R và có thể viết diện tích thửa ruộng hình tròn như là:
S = (8d/9)2 = (16R/9)2 = (256/81) R2
Theo lối tính này thì người Ai Cập đã dùng số Pi là 256/81, viết theo số lẻ ta có
π = 3,160493827
So với số Pi thật chính xác thì ta có một tỉ số là k = 1,006016…., nghĩa là cũng khá gần bằng đơn vị. Nói một cách khác nếu đổi thửa ruộng hình tròn để lấy một thửa ruộng hình vuông tính theo kiểu này thì được lợi hơn một chút. Lấy tỷ dụ thửa ruộng hình tròn mà mỗi mùa cung cấp được một ngàn đấu thóc, thì thửa ruộng hình vuông sẽ cho thêm 6 đấu thóc nữa.
Những ước lượng nguyên thủy về số Pi có lẽ đều do thực nghiệm. Con số được đề ra chỉ biết là gần đúng, còn ngoài ra hơn hay kém chừng mấy phân xuất thì không được rõ ràng. Phải đợi cho tới thời của Archimedes (287-212), là nhà toán học lỗi lạc nhất trước Công nguyên, con số siêu việt là số Pi mới dần dần mỗi ngày được tính thêm cho tới tuyệt mức.
Muốn hiểu phương pháp tính của Archimedes thì ta coi hình 57. Ở bên trái là hình lục lăng đều nội tiếp trong một vòng tròn có bán kính là R. Chu vi của hình lục lăng như vậy là 6R, tất nhiên nhỏ hơn chu vi vòng tròn là 2 π R, ta suy được ra rằng con số Pi lớn hơn số 3, và viết π >3. Trong khi đó theo hình bên phải ta có hình vuông ngoại tiếp, với chu vi là 8R, tất nhiên lớn hơn chu vi của vòng tròn là 2 π R. Ta suy ra được rằng con số Pi nhỏ hơn số 4, và viết π <4. Tóm lại ta có
3 < π < 4
Hình 57
Như thế ta có thể kết luận chắc chắn là số Pi là một số ở trong khoảng từ 3 cho tới 4. Như vậy Archimedes là người đầu tiên đã biết dùng phương pháp để vây bắt số Pi. Nhà toán học lỗi lạc này đã bắt đầu dùng một hình lục lăng đều nội tiếp cộng với một hình lục lăng đều ngoại tiếp. Như vậy kết quả được thu gọn hơn là dùng hình vuông ngoại tiếp như trên hình 57 và kết quả đầu tiên là
3< π <3,464102
Sau đó ông nhân số cạnh lên gấp đôi, và mỗi lần lập lại như thế thì chu vi của hình nội tiếp tăng dần lên và chu vi của hình ngoại tiếp nhỏ dần đi, và theo lý thuyết thì càng dùng nhiều cạnh thì hai hình càng xiết chặt vào hình tròn. Khi dùng tới hình 96 cạnh đều thì Archimedes biết chắc chắn được là
3(10/71) < π < 3 (1/7)
nghĩa là số Pi ở trong khoảng hai số 3,1408450 và 3,1428572. Cái thiên tài toán học của Archimedes là ông biết cách dùng hai mức gọi là cận dưới và cận trên để vây đáp số ở khoảng giữa, và nghĩ ra công thức toán học để làm tăng dần cận dưới và giảm dần cận trên để mỗi khi dùng phép tính lại có thể biết chắc chắn là trị số tìm ra sai trệch là bao nhiêu. Lối tính kiểu này, ngày nay trở nên thông dụng với máy điện toán.
Một phương pháp thắt vòng vây khác để bắt số Pi một cách thuận tiện hơn là ta giữ nguyên chu vi của hình nhiều cạnh đều với trị số là 2. Chẳng hạn bắt đầu bằng hình vuông như trên Hình 58. Sau đó vẽ vòng tròn ngoại tiếp với bán kính là R, tức là có chu vi 2 π R lớn hơn là chu vi hình nhiều cạnh. Giờ nếu ta vẽ vòng tròn nội tiếp với bán kính là r, tức là có chu vi 2 π r thì chu vi này nhỏ hơn số 2. Tự đó ta suy ra rằng số đảo của số Pi sẽ được bao gồm giữa r và R, nghĩa là ta có
r < 1/ π < R
Hình 58
Theo phương pháp này thì mỗi lần nhân gấp đôi số cạnh nhưng vẫn giữ nguyên chu vi hình nhiều cạnh là 2 thì bán kính r của vòng tròn nội tiếp tăng dần trong khi ấy bán kính R của vòng tròn ngoại tiếp nhỏ dần. Bắt đầu bằng hình vuông và khi tăng lên tới hình đều có 128 cạnh thì ta có được sự bao vây
0,3182459…. < 1/ π < 0,3183418…
Lấy số nghịch đảo thời ta có được số Pi gồm giữa hai trị số là 3,141 và 3,143. Trải qua nhiều thế kỷ, có nhiều trị số thực nghiệm và ngắn gọn được đề ra. Chẳng hạn nếu ta coi số Pi như là tỷ số 355/113 thì đúng được 6 số lẻ nghĩa là khi dùng số này để tính chu vi vòng quanh trái đất thì chỉ sai biệt là 3 mét mà thôi. Tuy vậy các nhà toán học vẫn muốn biết được con số siêu việt này một cách tận cùng. Ký hiệu Hy Lạp π để dùng cho số này là do nhà toán học Thụy Sĩ Leonard Euler (1707-1783) đề nghị vào năm 1739 để kỷ niệm phương pháp tính của Archimedes. Sau này khi môn giải tích học được phát triển thì những cấp số lượng giác có tính chất hội tụ được dùng để tính số Pi với rất nhiều số lẻ. Năm 1873 nhà toán học Anh Quốc là William Shanks công bố số Pi với 707 số lẻ sau gần 20 năm trời kiên nhẫn tính bằng tay. Cho tới năm 1948 thì ông John W French ở Hoa Kỳ và D.F. Ferguson ở Anh Quốc công bố số Pi với 808 số lẻ và tìm ra rằng trị số trước đây của Shanks tới số lẻ thứ 528 thì sai. Sau khi máy điện toán được tối tân hóa thì số Pi được biết tới hàng trăm triệu số lẻ. Chiếm kỷ lục hiện nay là ông Yasumasa Kaneda đã tính ra được gần 537 triệu số lẻ in ra trên 100 ngàn trang giấy điện toán và dùng máy điện toán siêu tốc của Nhật chạy trong 67 giờ 13 phút. Nhưng dù cho ta có tính thêm được vài trăm triệu số lẻ chăng nữa thì ta vẫn chưa chinh phục được số Pi, vì con số này và một vài hằng số khác đã được các nhà toán học mệnh danh là những con số siêu việt. Vì phần này lại đi ra ngoài phạm vi hình học nên tôi nói thêm chút ít để bổ túc cho sự trình bày trên đây của nhóm Trung ương.
Khi loài người đã nẩy nở thêm trí khôn, bắt đầu biết đếm theo những ngón tay ở hai bàn tay từ số một đến số mười rồi dần dần tăng thêm thì chỉ quen thuộc với những số nguyên mà thôi. Sau đó con người biết đến khái niệm về những số lẻ. Lấy một tỷ dụ có sáu trái/quả như trái bưởi có nhiều múi mà đem chia đều cho 5 người thì sẽ thấy là mỗi người sẽ được một quả và một số múi bưởi nữa, tạm viết là 1,20. Những con số như số này dù có nhiều số lẻ bao nhiêu nữa cũng được gọi là số hữu tỷ, nghĩa là có thể viết thành một tỷ số, và ở đây là tỷ số 6/5. Nếu ta lấy một số khác chẳng hạn là 1,237 thì cũng có thể viết thành một tỷ số là 1237/1000. Nhưng nếu nếu số lẻ tiếp diễn một cách vô tận, không có một luật lệ nhất định nào, chẳng hạn như khi ta tính căn số bậc hai của số 2 thì ta sẽ có
√ 2 = 1,41421356
Con số này được gọi là số vô tỷ vì không thể viết thành một tỷ số nào được. Dĩ nhiên số vàng, tức là số Φ của nhóm phương Nam đã trình bày trước đây cũng là số vô tỷ. Nhưng có điều cần lưu ý là ta có thể dùng một đoạn thẳng làm đơn vị chiều dài, rồi sau đó dùng thước kẻ thẳng và compa vẽ được ra một đoạn khác, chiều dài bằng đúng số Φ = 1,618033989…như đã được biểu diễn trên Hình 59, dù rằng số này là một số vô tỷ. Cũng làm tương tự như vậy, nếu ta viết số 2 như là tổng số của hai số bình phương nghĩa là 2 = 12 + 12 thì ta có thể dựa theo định lý của Pythagoras để vẽ ra số vô tỷ √ 2 theo như Hình 59.
Hình 59
Ta vẽ một góc vuông, trên đó lấy hai cạnh 1 và 1. Theo định lý của Pythagoras, đường huyền bình phương lên sẽ là 2. Như vậy có độ dài là √ 2. Nếu muốn vẽ được đoạn có độ dài là √ 3, thì sẽ lấy √ 2 là cạnh thứ nhất của một góc vuông , vẽ thêm cạnh thứ hai có độ dài là 1 ta sẽ có được tam giác vuông góc mới, đường huyền có độ dài là √ 3. Theo phương pháp này thì ta có thể kiến trúc căn số bậc 2 của một số nguyên bất kỳ nào. Trên thực tế ta có thể áp dụng định lý Pythagoras một cách linh động hơn. Chẳng hạn muốn vẽ một đoạn có độ dài là √ 50 ta không cần phải vẽ 49 hình tam giác vuông liên tiếp mà chỉ dùng một hình tam giác vuông là được.. Như vậy là vì ta có thể viết:
50 = 7 2 + 12
hay là 50 = 5 2 + 52
Như thế ta có thể vẽ một hình tam giác vuông có hai cạnh là 7 và 1 là có đường huyền cạnh là √ 50. Hay giản dị hơn, nếu vẽ tam giác vuông cân có hai cạnh đều mỗi cạnh là 5 thì đường huyền cũng sẽ là √ 50. Bạn đọc có thể cho là tôi đã cố tình chọn một số 50 là số thật đặc biệt để tính căn số bậc hai của số này một cách thật giản dị. Sự thực ra thì bạn đọc có thể lấy bất kỳ một số nguyên nào, dù lớn đến đâu cũng được và viết số nguyên này, gọi là n như là tổng số của nhiều nhất là 4 số chính phương. Như thế nghĩa là ta lúc nào cũng có
n = a 2 + b 2 + c 2 + d 2
và a, b, c và d là những số nguyên, có thể bằng nhau, và cũng có thể là số 0. Tỷ dụ như số n là số 50 trên đây thì tức là ta có c = 0, d = 0 và a = 7, b = 1 hay a = b = 5. Ðịnh lý số học này thật là lý thú, tìm ra bởi ông Bachet là một nhà toán học người Pháp, tên tuổi thật cũng ít người biết. Nhưng nhờ định lý này mà ta biết được rằng ta có thể vẽ đoạn có độ dài là √ n của bất kỳ một số nguyên nào, bằng cách áp dụng định lý của Pythagoras, nhiều nhất là ba lần liên tiếp nhau. Dĩ nhiên là nếu n là một số chính phương thì ta có ngay √ n = a. Như đã trình bày ở trên dù những số như √ 2, √ 3, Φ vân vân là những số vô tỷ nghĩa là viết ra số lẻ sẽ liên miên bất tận, vậy mà dùng thước kẻ và compa ta cũng có thể vẽ được những độ dài bằng những số này. Nhưng nếu dùng để vẽ nên số π hay căn bậc hai, √ π , của số này thì hoàn toàn thất bại. Con số π không những là một số vô tỷ như những căn số bậc hai của những số nguyên , √ 2, √ 3, √ 5 . (cùng với số Φ), vân vân… , nhưng lại không thể đo được bằng thước kẻ thẳng và compa, và như thế đã được các nhà toán học nâng cao lên mức thượng thừa, không đứng chung hàng ngũ với những số đại số trên đây, và được mệnh danh là một hằng số siêu việt.
Những Vành Trăng của Hipprocrates
Một trong những bài toán đã được nhiều nhà toán học lừng danh, trải qua ba thiên niên kỷ, chú ý đến mà không sao giải nổi là tìm ra phương pháp vẽ bằng thước kẻ thẳng và compa một hình vuông có diện tích tương đương với diện tích của một vòng tròn cho sẵn. Cho một vòng tròn tức là cho bán kính R hay là cho biết đường kính d = 2R. Diện tích của hình tròn này như thế là S = π R2 = π d2 /4. Nếu ta có hình vuông cạnh là a, có diện tích tương đương S = a 2 thì như thế ta có hệ thức liên lạc.
a = √ π R
Ta có thể lấy độ dài của bán kính làm đơn vị chiều dài R=1. Như thế bài toán phải giải quyết là làm cách nào vẽ được độ dài bằng đúng là √ π = 1,77245…. Sự thực ra thì người ta chỉ cần vẽ được ra độ dài π , vì biết được độ dài này thì trong hình học có nhiều phương pháp để vẽ ra căn số bậc hai của bất kỳ độ dài nào cho sẵn.
Mới đầu người ta không biết tính chất siêu việt của số Pi nên nhiều nhà toán học đã mất công để tìm ra lời giải mà không ai thành công. Nhà toán học và thiên văn học Lambert (1728-1777) đã viết hai luận thuyết vào năm 1761 và 1768 để chứng minh rằng số Pi là một số vô tỷ, nghĩa là những số lẻ viết ra liên tiếp sẽ bất tận. Nhà toán học Pháp Legendre (1753-1834) khi viết cuốn sách Éléments de Géométrie, có thêm phụ trương về vấn đề này và chứng minh thêm là số bình phương , tức là π 2 cũng là số vô tỷ. Nhưng không phải vì những chứng minh này mà một số những vị khác, vì điếc nên không sợ thiên lôi, mà lại nản lòng. Họ nghĩ rằng con số căn 2 cũng là một số vô tỷ mà vẫn vẽ và đo được một cách dễ dàng thì kiên trì là mẹ thành công, cứ việc loay hoay với thước kẻ thẳng và chiếc compa, sao cũng có lúc bắt được số Pi. Khi xưa, lúc từ biệt nàng Kiều, Từ Hải đã có lời hứa:
“Bao giờ mười vạn tinh binh,
Tiếng loa rậy đất, bóng tinh rợp đường.
Làm cho tỏ mặt phi thường,
Bấy giờ ta sẽ rước nàng nghi gia”
Cũng vào khoảng thời gian đó có nhiều toán gia chắc cũng tự nhủ thầm rằng:
“Bao giờ dùng chiếc compa
Quay tròn kẻ thẳng tìm ra số này,
Làm cho thiên hạ biết tay,
Bấy giờ ta sẽ về ngay rước nàng”
Tôi xin để bạn đọc tùy tiện viết lại bốn chữ cuối ở bài thơ tứ tuyệt. Riêng tôi thì đã biết là không thể nào làm trọn lời hứa, vì bài toán không có phép giải. Nói cho dễ hiểu thì trên mặt tờ giấy phẳng khi vẽ hai đường thẳng, thì hoặc chúng là hai đường thẳng song song, hoặc là chúng cắt nhau ở một điểm. Viết thành phương trình, ta có một phương trình bậc nhất chỉ có một đáp số. Giờ nếu vẽ một vòng tròn và một đường thẳng thì hoặc chúng không cắt nhau, hoặc chúng cắt nhau ở hai điểm, và trong trường hợp đặc biệt lắm thì hai điểm này trùng với nhau. Giải bằng toán thì ta có một phương trình đại số bậc hai, hoặc có hai đáp số, trong trường hợp đặc biệt thì hai đáp số bằng nhau, hoặc không có đáp số (mà ta gọi là đáp số ảo) khi hai đường không cắt nhau. Vì vậy muốn dùng thước kẻ thẳng và compa để vẽ nên độ dài bằng số Pi, thì con số này phải là đáp số của một phương trình đại số với hệ số là những số hữu tỷ. Phải tới năm 1882 thì mới có bài chứng minh là điều này không đúng và số Pi được liệt vào những hàng ngũ của những số siêu việt.
Tuy tất cả những sự tìm kiếm số Pi bằng hình học đều đưa đến thất bại nhưng đã có một số kết quả được ghi lại hậu thế. Ðó là những hình vành trăng của Hippocrates. Nhà toán học sinh sống (460-380) trước công nguyên này được gọi là Hippocrates ở Chios để phân biệt với một vị thầy thuốc Hy Lạp khác tiếng tăm lừng lẫy hơn được gọi là Hippocrates ở Cos, là vị thủy tổ của Y Học. Những hình vành trăng mà Hippocrates nghiên cứu là những hình được giới hạn bởi những phần hình tròn có bán kính to nhỏ khác nhau nhưng có cùng một dây cung. Như hình vành trăng có vạch đen ở trên Hình 60 đã được ông chứng minh là có diện tích bằng diện tích tam giác ABC, tức là bằng nửa diện tích hình vuông AOBC.
Hình 60
Chính cũng vì sự tương đương giữa diện tích những phần hình tròn và diện tích những phần hình vuông này đã làm cho ông dùi mài tìm kiếm thêm về diện tích những hình vành trăng vì Hyppocrates tưởng rằng đã tìm ra đầu mối để vẽ ra hình vuông có diện tích tương đương với diện tích hình tròn. Về sau này có nhiều hình trăng và diện tích tương đương được gán cho là đã do Hyppocrates tìm ra. Chẳng hạn trên Hình 61 ta có tam giác vuông góc ABC vẽ trong nửa hình tròn. Lấy những cạnh của góc vuông làm đường kính để vẽ những nửa hình tròn và do đó tạo ra hai hình vành trăng. Diện tích tổng cộng của hai hình vành trăng này, khi ta cho điểm C di chuyển, lúc nào cũng bằng diện tích tam giác vuông góc ABC. Muốn chứng minh tính chất này ta phải cần dùng đến định lý của Pythagoras.
Hình 61
Những lối tính diện tích kiểu này thật ra chỉ là những bài toán vui về Hình học. Dùng những phép cộng và trừ một số diện tích các hình, đôi khi ta có được hai hình có diện tích tương đương mặc dầu một hình được bao vây bởi những cung tròn và một hình có chu vi là những đường thẳng. Như trường hợp bầu rượu của phương Bắc đã đề ra, nay được ghi lại trên Hình 62 thì ta thấy ngay là có thể chia cắt và hợp lại thành một hình vuông một cách dễ dàng.
Hình 61
Tấm Da Bò của Nữ Hoàng Dido
Vì những lần trình diễn lúc ban ngày, các trại sinh đã dựa vào những hiện tượng thiên nhiên để bênh vực cho sự tuyệt mỹ vô cùng của các hình nhiều cạnh nên nhóm trung ương cũng đưa ra nhiều sự việc để cho hội trường biết đến vẻ đẹp của hình tròn. Hình tròn không những đã gây cảm xúc tột bực cho thi nhân, như khi xưa Lý Bạch mỗi lần ngửng đầu nhìn trăng sáng lại thấy bồi hồi cúi xuống nghĩ đến cố hương xa, mà hình tròn lại là một hình đạt được sự lợi ích tối ưu ở mọi khía cạnh. Nếu hình vuông, hay hình ngũ giác, hình lục lăng, hình thập giác hay cứ tiếp tục nhân lên để thành những hình nhiều cạnh, nếu những hình này thật là tuyệt mỹ thì mặt trời hay mặt trăng đã có hình thể là hình nhiều cạnh chứ không phải hình tròn. Khi quay một hình tròn quanh một đường kính là ta tạo ra hình cầu. Những bọt sà bông, để nở tự nhiên cũng thành những hình cầu. Những thân cây cũng theo hình tròn hay nói cho đúng hơn là những hình trụ có tiết diện là những hình tròn. Nhiều muông thú, theo luật bảo vệ thiên nhiên cũng biết lợi dụng sức mạnh của hình tròn như ở đồng bằng tuyết trên bắc cực, khi một bầy hươu bị đàn sói tấn công cũng lập tức quay thân lại để kết hợp thành một hình tròn, quay sừng ra ngoài để chống trả. Dĩ nhiên con người là một giống tinh khôn đã dư biết điều này. Như đoàn xe của những người di dân khi xưa trên đất Mỹ khi đang đi trên những cánh đồng cỏ mà bị dân da đỏ tấn công uy hiếp, họ đã quay xe để tạo để tạo thành một hình tròn để chống cự lại.
Ðể phô bày thêm vẻ tuyệt mỹ của hình tròn đã được một mỹ nhân khi xưa dùng tới để làm một phép mầu xây dựng nên cơ nghiệp, nhóm trung ương đã cử một trai sinh cầm đàn dạo và đóng vai thi sĩ La Mã Virgil để kể lại truyền tích của Nữ Hoàng Dido khi xưa là công chúa con một vị vua ở Trung Ðông. Khi chồng nàng là Acerbas bị người em làm phản loạn giết chết, nữ hoàng Dido mang được vàng bạc châu báu trên một chiếc thuyền để chạy sang Bắc Phi Châu ở phía bên kia bờ của Ðịa Trung Hải. Khi lên bờ nàng làm lễ ra mắt vị chúa tể địa phương là quốc vương Iarbus. Nàng đưa ra một đồng tiền vàng và xin đổi lấy một phần đất để làm chỗ dung thân. Khi Iarbus hỏi Dido là muốn được khoảng đất lớn chừng nào thì nàng trả lời là xin miếng đất ở ven bể chỗ thuyền vừa cập bến và đủ để bọc một tấm da bò. Quốc vương Iarbus ưng thuận ngay và để làm vừa ý mỹ nhân đã đưa cho nàng tấm da bò thật lớn. Lúc trở về thuyền, Dido đã sai tùy tùng cắt da thành sợi nhỏ và nối lại để thành một sợi dây rất dài. Sau đó đám di dân đã chăng sợi dây vòng thành nửa hình tròn và như thế nữ hoàng Dido đã chiếm được một mảnh đất với diện tích tối đa để thành lập tỉnh Byrsa, sau này trở thành một thành phố trù phú với tên Carthage.
Qua truyện này ta thấy rằng nữ hoàng Dido đã là người đầu tiên giải quyết bài toán đẳng chu (isoperimetric problem) Ðịnh lý chính của bài toán này là:
“Trong tất cả các hình phẳng cùng có chung một chu vi thì hình tròn có diện tích lớn nhất”
Một định lý đảo lại được viết là:
“Trong tất cả các hình phẳng cùng có chung một diện tích thì hình tròn có chu vi nhỏ nhất”
Ðó là lý do đã làm cho đàn hươu Bắc cực khi gặp hiểm nguy đã quay lại thành hình tròn.
Ta gọi chu vi cố định của hình nhiều cạnh đều là c, và để làm bài tính ta hạn định chu vi này có độ dài là c = 2. Sau đó nếu ta gọi S3, S4, S5, S6 … là diện tích những hình nhiều cạnh đều có 3, 4, 5, 6 cạnh ... và cùng có chu vi là c thì có thể tính ra được là:
S3 = 0,048112….c2 = 0,192450…
S4 = 0,062500….c2 = 0,250000…
S5 = 0,068819… c2 = 0,275276…
S6 = 0,072168….c2 = 0,288675..
………….
S128 = 0,079561….c2 = 0,318245…
…………
S = 0,079577… c2 = 0,318309
Theo kết quả trên đây thì càng tăng số cạnh lên thì nếu giữ nguyên chu vi là 2, diện tích của hình nhiều cạnh càng lớn dần ra. Nhưng một khi số cạnh trở nên quá lớn thì tỷ lệ tăng cũng giảm dần đi. Chẳng hạn giữ hình lục lăng đều và hình tam giác đều ta có tỷ lệ giữa các diện tích là S6/S3 = 1,5. Nhưng giữa hình 128 cạnh đều và hình có một số cạnh nhiều vô cực thì tỷ lệ giữa các diện tích chỉ là S/S128 = 1,0002…mà thôi. Ðó là một định luật chung của các hàm số khi tăng dần đến một số cực đại thì sự tăng cũng giảm dần. Như theo hàng số tính ở trên thì diện tích S là diện tích của vòng tròn khi số cạnh trở nên vô cực và theo phép tính với trị số c = 2 thì trị số của diện tích này cũng là số nghịch đảo của số π và ta có:
π = 1/0,318309886 = 3,14159265…
Trên đây ta đã biểu diễn phép tính số Pi bằng cách giữ nguyên chu vi và tăng số cạnh của hình nhiều cạnh. Ðồng thời ta cũng nhận thấy là càng có nhiều cạnh thì diện tích càng lớn ra và khi đến chỗ tuyệt mức thì ta có hình tròn. Nhưng theo sự chính xác của toán học thì ta không thể dùng lối chứng minh này để giải bài toán đẳng chu được vì ta đã mặc nhiên công nhận là muốn có diện tích lớn nhất mà giữ nguyên chu vi thì ta phải có hình đều góc. Chẳng hạn các bạn đọc có thể nối một đoạn giây cho khép kín rồi đặt trên bàn phẳng và loay hoay tìm cách xếp lại vòng giây sao cho choàng một diện tích lớn nhất. Gần như điều chắc chắn là thế nào ta cũng phải đi đến kết luận là phải xếp vòng giây lại cho thành hình tròn mới được.
Hồi nhỏ chúng ta đã có dịp thăm đồng ruộng, nhìn thấy những bác canh điền bó những nắm rơm, thắt chặt lại để kết tụ lại thành những bó tròn. Như thế tức là ai cũng biết làm theo nữ hoàng Dido, giải quyết những bài toán đẳng chu theo thực nghiệm. Nhưng phải đợi cho tới thế kỷ 19 thì lời giải toán học mới được một giáo sư người Thụy Sĩ là Jacob Steiner (1796-1863) công bố ra. Thực ra thì Steiner đưa ra nhiều lời giải, có lời giải thật đặc sắc. Duy chỉ có điều là lời giải nào của Steiner cũng có khía cạnh không hoàn chỉnh. Những điều thiếu sót này về sau được nhà toán học Karl Weierstrass tu chỉnh lại khi ông làm công việc bổ sung cho phép tính biến thiên.
Hình 63 cho ta thấy diễn biến của một phép chứng minh của Steiner. Như thường lệ, ta gọi chu vi cố định của hình phẳng là c. Muốn có diện tích tối đa trước hết hình này phải là một hình lồi. Nếu có chỗ nào lõm vào thì ta vẽ tiếp tuyến CD để khép chỗ lõm lại và dùng một phép đối xứng qua đường tiếp tuyến ta sẽ có một hình lớn hơn mà lại có cùng một chu vi.
Hình 63
Vì vậy ta chỉ cần xét những hình lồi mà thôi. Nay trên hình này lấy một điểm A bất kỳ và đi vòng nửa chu vi để tới một điểm B. Ðường thẳng AB sẽ chia hình làm hai phần có diện tích là S1 và S2. Nếu S1 lớn hơn S2 thì ta làm một phép đối xứng qua đường AB để có một hình có diện tích là S = 2 S1, nghĩa là lớn hơn diện tích cũ mà lại có cùng một chu vi là c. Hình mới này có trục đối xứng là AB. Nếu là một hình lõm, hoặc ở A, hoặc ở B, thì ta có thể làm biến thành hình lồi có cùng chu vi mà lại lớn hơn như đã tả ở trên. Phép làm cho lồi này cũng giữ nguyên tính chất đối xứng. Sau đó ta lại lấy điểm A ở chỗ khác và làm lại phương pháp tăng diện tích mà giữ nguyên chu vi như đã chỉ dẫn ở trên. Cứ thế mà tiếp tục cho đến khi không thể nào tăng diện tích được nữa. Hình tuyệt mỹ một cách toàn vẹn này phải là hình đối xứng qua bất kỳ một đường thẳng nào chia chu vi làm hai phần đều nhau và chỉ có hình tròn mới có được tính chất này.
Ba Ðường Gươm Của Họ Ðan
Những vệ tinh truyền tin quay quanh trái đất thường đi theo những hình tròn. Cũng như vậy, những hành tinh trong Thái dương hệ cũng đi theo những quỹ đạo gần giống như hình tròn với mặt trời là tâm điểm. Nhưng khi đo những khoảng cách một cách chính xác ta sẽ thấy rằng phải trong trường hợp thật lý tưởng ta mới có được một hình tròn thật đều đặn, còn thường ra thì có hình hơi bầu dục, còn được gọi là hình ellip. Một trại sinh đã ra để làm một biểu diễn thật giản dị. Anh cầm một đèn bấm chiếu lên một tấm bảng. Nếu chiếu thẳng góc thì có ngay một vòng sáng hình tròn. Nếu chỉ hơi lệch đi một chút thì có ngay hình ellip. Ðộ lệch càng nhiều thì hình ellip càng kéo dài ra và có thể biến dạng thành một hình cong không khép kín.
Hình 64
Những tia sáng đèn khi chiếu ra đều nằm ở trong khung của một hình nón tròn xoay. Trong toán học ta định nghĩa hình nón tròn xoay như sau: Lấy một vòng tròn và vẽ đường thẳng góc với mặt vòng tròn xuất phát từ tâm điểm. Trên đường thẳng góc này lấy một điểm D gọi là đỉnh của hình nón. Từ D vẽ những đường thẳng dựa lên vòng tròn. Những đường thẳng này được gọi là đường sinh của hình nón và tổng cộng tất cả tất cả những đường sinh sẽ tạo ra hình nón theo như Hình 65. Ðặc biệt là phát sinh ra hình nón theo kiểu này ta sẽ có hai mặt.
Hình 65
Vào khoảng ba thế kỷ trước công nguyên các nhà toán học Hy Lạp đã tìm thấy ra rằng nếu cắt hình nón bằng một mặt phẳng hơi lệch một chút ta sẽ có được một đường cong phẳng khép kín là một hình bầu dục. Ðường này được đặt tên là đường ellip. Nhưng sau đó nếu độ lệch hơn chút nữa, để mặt phẳng cắt song song với một đường sinh thì đường cắt sẽ không khép kín mà có hai nhánh chạy xa ra vô cực. Ðường biến hình này của hình ellip khi trở nên dài ngoẵng được đặt tên là hình Parabol. Khi mặt phẳng cắt có một độ nghiêng thật lớn, gần như song song với trục của hình nón thì ta lại thấy mặt phẳng này cắt cả hai mặt của hình nón cả mặt trên lẫn mặt dưới. Tiết diện cắt thẳng một đường cong thật khác lạ, gồm có hai ngành, và ngành nào cũng không khép kín và có nhánh chạy xa đi vô cực. Hình hai ngành này được đặt tên là hình hyperbol.
Vì hình nón được gọi là cone, nên 3 hình tiết diện vừa kể trên được gọi chung là ba hình conic. Lúc đầu tiên, những toán và triết gia Hy Lạp nghiên cứu những hình này chỉ vì muốn tò mò hiểu biết thêm tính chất của chúng tại sao lại chỉ tùy thuộc nhát cắt một hình nón tròn xoay. Gần hai ngàn năm sau, tới thế kỷ 17 nhà vật lý và thiên văn học người Ý là Galileo mới tìm ra rằng vật thể rơi trong chân không sẽ theo hình Parabol. Ta có ý niệm sơ sài của hình parabol bằng cách phun một vòi nước hay ném một hòn đá, tuy rằng, với sức cản của không khí, hình thể của những đường này không còn hẳn là hình parabol nữa. Cùng thời với Galileo (1564-1642), nhà thiên văn học Johannes Kepler (1571-1630) tìm ra ba định luật chính cho sự chuyển vận của các hành tinh. Ðịnh luật đầu tiên là:
“Các hành tinh quay chung quanh mặt trời theo những hình ellip mà mặt trời là một tiêu điểm”.
Cho tới thời kỳ Kepler thì người ta cho rằng các quỹ đạo đều là hình tròn. Nhưng nhờ ở những kết quả quan sát và đo lường thật chính xác của một nhà thiên văn học khác người Ðan Mạch là Tycho Brahe (1546-1601) mà Kepler đã chấm tọa độ và kết luận là quỹ đạo các hành tinh đều có hình bầu dục, chỉ đặc biệt lắm như Kim Tinh , mà ta thường gọi là Sao Hôm và Sao Mai mới có quỹ đạo thật gần như hình tròn.
Mới đầu thì người ta không chú ý nhiều đến hình ellip vì cho hình này chỉ là hình tròn hơi vẽ lệch mà thôi. Nhưng dần dần về sau người ta cũng dùng ellip làm mẫu cho những mặt ngọc, cho những bồn hoa hay hồ nước. Ðến khi kính thiên văn trở nên thông dụng và tân kỳ, có thể dùng để theo dõi những sao chổi, các nhà thiên văn mới thấy rằng nhiều sao chổi từ tận cùng thái dương hệ, chạy gần tới mặt trời để trổ đuôi sáng lóe rồi lại chạy đi xa thẳm, và như thế đi theo những hình ellip thật dài, có chu kỳ thật lớn. Vào năm 1704 nhà thiên văn Anh Cát Lợi là ông Edmund Halley (1656-1742) nghiên cứu sử liệu thiên văn và dự đoán rằng những sao chổi hiện ra vào những năm 1682, 1607, 1531 và 1456 chỉ là một và chạy quanh mặt trời theo những quỹ đạo hình ellip có chu kỳ là 75 năm. Ông tiên đoán là sao này sẽ trở về năm 1757. Vì trên đường về có sự nhiễu loạn hấp dẫn của Mộc Tinh mà quỹ đạo sao chổi này bị lệch và sao tới chậm một năm. Nhà thiên tài toán học Alexis Clairaut người Pháp đã tính lại và tiên đoán rằng sao chổi của Halley sẽ đến vào cuối năm 1758, theo sự sai dịch chỉ chừng hai tuần. Quả nhiên, vào Giáng Sinh năm ấy sao chổi hiện ra rực rỡ, thêm vinh danh cho Halley đã lìa trần từ nhiều năm trước và làm tăng giá trị cho Clairaut lúc đó đã có địa vị vững vàng và được một ghế trong Hàn Lâm Viện Khoa Học. Lần mới nhất đây, sao chổi Halley trở về là vào ngày mồng 9 tháng 2 năm 1986, sao tới cận điểm gần mặt trời nhất, và cũng là ngày mồng một Tết năm Bính Dần. Chỉ tiếc là lần này điều kiện quan sát sao chổi không được thuận tiện, nhìn bằng mắt thường không được.
Trở lại về ba hình conic, trong đó có hình ellip. Khi người ta viết thành phương trình, dùng tọa độ đối cực, thì cả ba hình đều có chung một phương trình, trong đó có một hằng số e gọi là tâm sai. Khi số e lớn hơn 1 thì ta có hình hyperbol. Khi e nhỏ hơn 1 thì conic là hình ellip. Còn nếu e = 1 thì đó là parabol. Ðặc biệt là nếu e bằng số không, nghĩa là e = 0, thì hình ellip trở nên thật đều, thật tuyệt mỹ, và thành hình tròn.
Tuy những nhát cắt của hình tròn có hai mặt cho ta những Hình conic như trên Hình 65, và những tính chất căn bản của những hình này đã được biết từ trước công nguyên nhưng phải đợi gần hai ngàn năm sau mới được một nhà toán học người Bỉ là Dandelin (1794-1847) đưa ra lời giải thật tuyệt vời. Họ Ðan đã dùng hai hình cầu lồng vào trong hình nón và chứng minh rằng những hình cầu này chạm mặt phẳng cắt hình nón tại những tiêu điểm F1 và F2 của hình ellip, theo như trên Hình 66.
Hình 66
Tự đó ông suy ra là nếu M là một điểm ở trên tiết diện thì tổng số MF1 + MF2 là một hằng số, nghĩa là:
MF1 + MF2 = MA + MB = AB = 2a.
Ðó là tính chất độc đáo của hình ellip. Muốn vẽ một bồn hoa có hình này, người trồng cảnh cắm hai cọc ở những điểm F1 và F2 rồi căng một sợi dây có độ dài MF1 + MF2 = 2a không thay đổi là vạch điểm M thành hình ellip.
Từ mấy ngàn năm xưa, các thi nhân đã đời đời ca ngợi hào khí của Kinh Kha mang thanh gươm hiệp sĩ sang Tần, và cũng chia sẻ nỗi hận của Thái Tử Ðan, ngóng trông bên bờ sông Dịch thấy dần dần tan vỡ mộng khôi phục nước Yên. Từ gần hai trăm năm nay các học sinh theo môn Toán lại biết tới một người khác cũng họ Ðan đã có đường gươm tuyệt diệu hớt bằng một hình nón thành ra ba hình conic. Nhưng trong tất cả những đường gươm này, dùng đủ mọi độ nghiêng, từ trên xuống dưới hay từ dưới lên trên, chỉ có một đường chính giác, thật thẳng góc với trục của hình nón là phát sinh ra hình tuyệt mỹ nhất là hình tròn mà thôi.
Thảo Bài Thơ Liên Hoàn
Trời đã dần về khuya và trăng rầm đã lên gần tới đỉnh đầu. Tuy giữa hội trường vẫn còn lửa hồng bùng lên rực rỡ, mọi người đều biết rằng đã gần đến giờ tan buổi hội thảo, trở về phòng nghỉ, để ngày mai chia tay. Những ngày vui đã đưa mọi người lại gần nhau. Ðặc biệt là phần trình diễn cuối cùng đã đưa ra hình tròn, tượng trưng cho tình liên kết giữa các trại sinh. Ðể kết luận, nhóm trung ương đã cử ra một cặp trại sinh, một anh và một chị, một người đóng vai thi nhân, và một người làm tiên nữ để tới thăm và tạm biệt các nhóm đã họp thành bốn phương. Trên trời trăng rầm có hình tròn tuyệt mỹ.
Chân bước đi, ngẩng đầu nhìn trăng, rồi trầm ngâm cúi xuống, thi nhân đã ngâm bài “Tĩnh Dạ Từ” của Lý Bạch.
“Sàng tiền minh nguyệt quang,
Nghi thị địa thượng sương.
Cử đầu vọng minh nguyệt,
Ðê đầu tư cố hương”
dịch là:
“Ðầu giường trăng sáng như gương,
Tưởng như mặt đất giãi sương mịt mùng.
Ngẩng trông trăng sáng vô cùng,
Cúi đầu luống những trạnh lòng nhớ quê”
Rồi hai người cùng đi tới thăm phương Ðông để kết giao tình giữa hình tam giác của nhóm này và hình tròn của trung ương.
Một tờ giấy rộng được trải ra, trên có vẽ sẵn hình tam giác ABC thật bất kỳ để xem thi nhân làm cách nào để cho thích hợp được với hình tròn là hình thật đều đặn. Thi nhân, và cũng là toán gia, đã trước hết điềm đạm chấm bút và đánh dấu ba trung điểm L, M, N của ba cạnh rồi vẽ một vòng tròn qua ba điểm này. Ðiều này không có gì lạ vì nhóm phương Ðông đã cho mọi người biết là qua ba điểm không thẳng hàng bao giờ cũng có thể vẽ được một vòng tròn, và một vòng tròn độc nhất. Nhưng sau đó thi nhân đã khoan thai đánh dấu H, I, J là những điểm thứ hai mà ba cạnh đã cắt vòng tròn, vì ta đã biết là một đường thẳng nếu cắt vòng tròn thì thường thường là cắt ở hai điểm. Những điểm H, I, J này không phải là những điểm bất kỳ mà lại chính là những chân của của những chiều cao AH, BI và CJ vẽ từ 3 đỉnh A, B, và C tới những cạnh đối diện. Phương Ðông trước đây đã cho biết là ba chiều cao này cùng cắt nhau ở một điểm gọi là điểm S. Nhưng điều mầu nhiệm ở đây là những trung điểm P, Q và R của những đoạn giữa ba đỉnh A, B, và C và điểm S, những điểm này cũng lại ở trên vòng tròn đã vẽ ra. Tổng cộng là có 9 điểm đặc sắc ở trên vòng tròn này. Vòng tròn này đã được nhà toán học Euler tìm ra từ năm 1765 nhưng lại mang tên của nhà toán học Karl Feuerbach (1800-1834) khi ông này tìm lại thấy và công bố vào năm 1822. Tên ông ta có lẽ khó đọc nên các học sinh thường gọi giản dị là vòng tròn chín điểm.
Hình 67
Trước khi từ biệt phương Ðông, thi nhân phóng bút viết một bài thơ và nàng tiên cùng đi đã trao lại làm quà tặng.
Trăng sáng nhớ quê hương,
Mai đây anh lên đường.
Lưu vòng tròn chín điểm,
Ðể gây tình muôn phương.
Phương Tây là cơ sở của hình lục lăng đều. Ta đã biết một khi cho một hình tam giác bất kỳ nào cũng có thể vẽ một vòng tròn ngoại tiếp chạy qua ba đỉnh, và một vòng tròn nội tiếp, tiếp xúc với ba cạnh. Nhưng những hình có từ bốn góc trở lên thì lại không có những tính chất này. Chỉ những hình thật đặc biệt, như hình có góc đều, hay có những cạnh và những góc thỏa mãn một số điều kiện nào đó mới có thể là hình nội tiếp hay ngoại tiếp với một hình tròn. Vì vậy thi sĩ toán học của trung ương đã cho các bạn phương Tây được dễ dàng bằng cách đưa ra sẵn một hình tròn để họ tùy tiện lấy trên đó 6 điểm bất kỳ để vẽ ra một hình lục lăng nội tiếp như trên hình 68.
Muốn làm cho khó khăn, nhóm phương Tây tuy đã đánh dấu những cạnh liên tiếp là 1, 2, 3… nhưng lại không cho những đỉnh A, B, C…đi theo cùng một thứ tự trên hình tròn. Dầu vậy, thi nhân cũng ung dung chấm bút kéo dài cạnh 1 gặp cạnh 4 ở một điểm gọi là α , cạnh 3 gặp cạnh 6 ở một điểm gọi là β và sau cùng lấy cạnh 2 gặp cạnh 5 ở một điểm gọi là γ . Lấy một thước kẻ thẳng đặt lên hình thì thấy ba điểm α , β và γ này thẳng hàng. Ðịnh lý này được toán và triết gia thiên tài là Blaise Pascal (1623-1662) tìm ra khi ông mới 16 tuổi.
Hình 68
Ðấy mới là tính chất của một hình sáu cạnh nội tiếp. Toán gia lại đưa ra một hình tròn khác để một bạn ở nhóm phương Tây vẽ ra một hình sáu cạnh bất kỳ và ngoại tiếp như trên hình 69. Nay nối những đỉnh đối diện nghĩa là A với D, B với E và C với F, thì thấy ngay là ba đường thẳng sinh ra đồng quy ở một điểm S. Ðịnh lý này được gọi là định lý Brianchon.
Hình 69
Cái triết lý sâu xa mà cặp tài tử giai nhân ở trung ương muốn gợi ra cho nhóm phương Tây biết là nếu lấy một hình sáu cạnh bất kỳ thì thường không theo một phương thức nào, và chỉ là một hình ô hợp vô dụng. Nhưng nếu đi vào khuôn phép, chẳng hạn làm co dãn, sửa đổi để có thể thành nội tiếp trong một vòng tròn, hay ngoại tiếp với một vòng tròn, thì không cần phải là một hình đều, hình mới này có tính chất liên minh, hoặc là thẳng hàng, hoặc là hội tụ. Hiểu được ý tứ này, các bạn của nhóm phương Tây đều đứng lên vỗ tay cảm tạ hai vị khách danh dự. Trước khi cáo từ để đi về phương Nam với hình ngũ giác, thi nhân lại thảo một bài thơ để nàng tiên đưa tặng những người đã biết nối vòng tay lớn.
Ðể gây tình muôn phương,
Ðường Pascal vô thường.
Rồi đồng quy, tụ lại.
Nhớ ai người Tây phương.
Ðôi bạn đã lưu lại nhiều cảm tình cho nhóm Tây phương để lúc ra đi còn thấy lòng lưu luyến. Các bạn ở lại còn ghi nhớ rằng phải xếp ngay hàng, hay quần tụ lại với nhau mới có thể cùng nhau xây dựng đất nước xa xưa cho trở nên phồn thịnh.
Lễ nghi chào đón ở phương Nam cũng rất mực ân cần. Thi nhân có mang theo một bản in của những hình vẽ lục lăng nội tiếp và ngoại tiếp với hình tròn và những tính chất thẳng hàng và hội tụ như đã tả trước đây. Những hình vẽ in trên giấy kính và nay dùng ánh đèn chiếu lên giấy trắng ta thấy những tính chất này vẫn còn tồn tại vì lý do là một điểm chiếu ra vẫn thành một điểm và một đường thẳng chiếu ra vẫn thành đường thẳng. Duy chỉ có điều là nếu độ chiếu lệch thì hình tròn khi chiếu ra sẽ thành hình ellip. Nói một cách khác, định lý của Pascal và định lý của Brianchon cũng vẫn đúng cho những hình nhiều góc nội tiếp hay ngoại tiếp với với một hình conic chứ không phải chỉ đúng với một hình tròn mà thôi.
Thi nhân lại đưa ra một hình tròn để cho một bạn ở nhóm phương Nam vẽ trên đó một hình ngũ giác bất kỳ gọi là ABCDE theo như hình 70.
HÌnh 70
Hình ngũ giác này có thể coi như là biến thể của một hình lục lăng nội tiếp ABCDEF khi mà hai đỉnh E và F trước đây đã tạo ra cạnh số 5 nay đều chụm vào với nhau. Vì vậy định lý của Pascal cũng vẫn đúng nếu được sửa như sau. Cạnh 1 và 4 kéo dài vẫn gặp nhau ở điểm α . Cũng như trước đây, cạnh 3 và cạnh 6 kéo dài vẫn gặp nhau ở điểm β còn cạnh 2 với cạnh 5 trước đây gặp nhau ở điểm γ , thì nay tuy cạnh 2 vẫn còn nhưng cạnh 5 thì khi 2 điểm E và F đến trùng với nhau thì cạnh 5 trở thành tiếp tuyến với hình tròn ở điểm E. Tiếp tuyến này gặp cạnh 2 ở điểm γ và 3 điểm α , β và γ thẳng hàng trên một đường thẳng gọi là đường thẳng Pascal.
Giờ đến định lý Brianchon cho hình ngũ giác ngoại tiếp với một hình conic (hay đặc biệt cho một hình tròn) cũng vẫn đúng như theo hình 71.
Ta coi hình ngũ giác ngoại tiếp ABCDE như là biến thể của một hình lục lăng ngoại tiếp, khi mà hai cạnh EF và FA thẳng hàng và làm thành một cạnh duy nhất
tiếp xúc với hình conic ở điểm F. Vì vây hai đường thẳng nối nối những đỉnh A và D, đỉnh B và E và đường nối đỉnh thứ 5 là đỉnh C với điểm tiếp xúc F, 3 đường thẳng này đồng quy ở điểm S gọi là điểm Brianchon.
Hình 71
Thi nhân cũng để lại một bài thơ tứ tuyệt tặng nhóm phương Nam sau khi lưu ý rằng có tất cả 5 điểm S khác nhau cho hình ngũ giác ngoại tiếp.
Nhớ ai người Tây Phương,
Suôi Nam đẹp dị thường.
Năm cánh sao diễm ảo
Một chân trời tơ vương.
Nhóm phương Bắc đã được mục kích phương pháp coi hình ngũ giác như là giới hạn của hình lục lăng khi có hai đỉnh chụm lại làm một như đã biểu diễn ở phương Nam nên vì họ đã có sẵn một Tôn Ngộ Không có phép toán thông thần, học lỏm ngay được phương sách làm biến thể định lý Pascal. Khi hai vị du khách tới phương Bắc thì ở đây đã đưa ra Hình 72.
Hình 72
Theo tính chất này thì một khi đã có một tứ giác gọi là ABCD nội tiếp trong một hình conic thì ta có thể tạo ra 4 điểm thẳng hàng. Hai điểm 1 và 2 là những giao điểm của những cạnh đối diện. Hai điểm 3 và 4 là giao điểm của những tiếp tuyến ở những đỉnh đối diện.
Nhóm phương Bắc cũng tự đưa ra Hình 73 cho định lý Brianchon. Thay vì có 3 đường thẳng đồng quy ở điểm S, nay có tất cả 4 đường là 2 đường chéo góc nối những đỉnh và 2 đường nối những điểm tiếp xúc của những cạnh đối diện.
Hình 73
Vì đã có Tôn Ngộ Không vẽ giúp cho những đường thẳng Pascal và điểm Brianchon cho hình tứ giác nội tiếp và ngoại tiếp nên thi nhân lãng tử chỉ ung dung ngồi gọt rũa bài thơ liên hoàn để tặng nhóm phương Bắc.
Một chân trời tơ vương,
Chân đi huống đoạn trường.
Màn sương mờ hiu hắt,
Trăng sáng nhớ quê hương
Ði từ Ðông sang Tây rồi sau đó suôi Nam rồi ngược Bắc, thi nhân đã làm song bài thơ liên hoàn. Ði một vòng là phải trở lại với câu thơ cuối này cũng là câu đầu tiên gửi tặng nhóm phương Ðông. Muốn cho nhóm khởi xướng này, lúc nào cũng tình nguyện đi tiên phong, đỡ cảm thấy lẻ loi khi không được chung vui vào những định lý Pascal và Brianchon như những nhóm khác, thi sĩ và toán gia đã trở lại phía Ðông để phóng bút và vạch ra chân lý là hình tam giác có thể được coi như là hình lục lăng biến thể. Cứ hai đỉnh chụm lại nhau thì lại biến đi một cạnh. Vì vậy hình 6 cạnh có thể biến thành hình 3 cạnh một cách dễ dàng.
Hình 74
Ðịnh lý Pascal cho một hình tam giác gọi là ABC nội tiếp trong một hình conic có thể đọc là:
“Ba giao điểm của những cạnh và tiếp tuyến ở đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng”.
Tính chất này được biểu thị trên hình 74.
Sau cùng định lý Brianchon cho tam giác ngoại tiếp với một hình conic cũng được suy ra rất dễ dàng là:
“Khi một tam giác ngoại tiếp với một hình conic thì những đường thẳng nối những đỉnh với điểm tiếp xúc của cạnh đối diện là 3 đường thẳng đồng quy ở điểm Brianchon”.
Tính chất này được biểu thị trên hình 75.
Hình 75
Buổi Hoa Sơn luận hội về những vẻ đẹp thiên nhiên đã sẵn có từ nguyên thủy và mới được loài người ghi nhận vào khoảng mấy ngàn năm vừa qua tôi đã tưởng tượng ra và kể lại trên những trang giấy chỉ là một bút ký ghi mấy dòng tâm sự tôi muốn gởi tới các bạn trẻ ở thế hệ sau.
Tôi đã lớn lên và trưởng thành qua hai mươi năm chinh chiến ở quê nhà và cũng có hơn ba mươi năm lưu trú ở khắp biển trời xa quê hương. Sự học của tôi tất nhiên đã phải qua nhiều lần gián đoạn. Có những khoảng thời gian tôi được tới học đường, nhưng cũng nhiều khi, qua giòng đời lưu lạc, tôi đã phải sống ở những miền thôn dã, hay ở những xứ gần sa mạc, hoang vu, không có thầy, lại thiếu sách học, tôi đã cố cóp nhặt, thu thập được điều nào hay điều ấy. Những điều gì tôi đã học được, nay tôi muốn gạn lọc lấy những tinh hoa để rồi theo gió tôi gửi trả lại bay đi bốn phương trời.
Sau khi đọc những bài này, ngoài ít giờ mua vui cùng toán học, nếu bạn đọc cảm thấy rằng gây được tình liên kết giữa bạn bè và giữa những người đồng hương là một điều quý giá vô ngần, và thêm vào nữa vì trong cuộc đời ít khi có điều gì có thể gọi được là toàn vẹn nên ta phải luôn luôn trau giồi tài năng và đức hạnh cho mỗi ngày một tốt đẹp hơn, thì đó quả là điều mong muốn của tôi.
